Несобственные интегралы

Сначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.

Определение 1. Пусть функция интегрируема на любом отрезке Тогда если существует конечный предел то говорят, что интеграл сходится. При этом пишут Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяются интегралы

(здесь произвольная конечная точка). Эти интегралы называют несобственными интегралами первого рода. Их геометрический смысл ясен из рис. 11, где площадь Теперь рассмотрим интегралы от неограниченных функций.

Определение 2. Если функция не ограничена в окрестности точки (ее называют особой точкой) и является интегрируемой на любом отрезке то по определению полагают Если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл второго рода сходится. В противном случае он называется расходящимся. Аналогичный смысл имеют интегралы (второго рода)

,

где в первом случае точка является особой, а во втором случае точка является особой. Поскольку заменой переменной интеграл второго рода

(особая точка) сводится к интегралу первого рода, то будем изучать только интегралы с бесконечным верхним пределом. Сначала покажем, что эталонный интеграл

Действительно, имеем

Переходя здесь к пределу при получаем наше утверждение. С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость других несобственных интегралов.

Теорема сравнения 1. Пусть функции и интегрируемы на произвольном отрезке и имеют место неравенства Тогда если сходится интеграл то и сходится интеграл Если же интеграл расходится, то и расходится интеграл

Теорема сравнения 2. Пусть функции и положительны и интегрируемы на произвольном отрезке Пусть, кроме того, существует предел Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При примененииэтих теорем часто используется таблица эквивалентных бесконечно малых:

Если при то при верны следующие соотношения:

const.

Например, интеграл сходится, так как и интеграл сходится (см. эталонный интеграл() и теорему сравнения 2).

Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательных подынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными, то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят, что интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл Если последний интеграл расходится, а сам интеграл сходится, то его называют условно сходящимся интегралом. Нетрудно показать, что из сходимости интеграла вытекает обычная сходимость интеграла Обратное, вообще говоря, неверно. Можно показать, например, что интеграл

сходится, а интеграл расходится. Тем не менее, при исследовании сходимости интегралов от знакопеременных функций изучают сначала их абсолютную сходимость (здесь можно применить теоремы сравнения), а затем – условную сходимость.

Например, рассмотрим интеграл. Здесь подынтегральная функция изменяет знак на полуинтервале, поэтому применить к нему теоремы сравнения нельзя. Рассмотрим “модульный” интеграл Здесь подынтегральная функция неотрицательна, и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1:

Так как интеграл сходится, то и интеграл также сходится, а, значит, исходный интеграл сходится абсолютно.