Предел функции. Формула Ньютона-Лейбница

Понятие функции

Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл с переменным верхним пределом

Заметим, что в качестве переменной интегрирования можно выбрать любую букву:

Пусть функция интегрируема на отрезке Тогда для любого можно вычислить число Значит, для каждого определена функция Эту функцию называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке то интеграл непрерывен на этом отрезке. Если непрерывна на отрезке то

дифференцируема на указанном отрезке, причем

Доказательство первой части этого утверждения опускаем. Перейдем к обоснованию второй части. Пусть произвольная точка интервала Вычислим

Так как непрерывна на отрезке то применима теорема о среднем: существует точка такая, что

Тогда Устремляя здесь и учитывая, что при этом

т.е. Равенство (1) показано в любой внутренней точке отрезка Можно показать, что оно верно и на концах этого отрезка. Теорема доказана.

Следствие 1. Любая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную.

Действительно, в качестве одной из первообразных можно указать интеграл с переменным верхним пределом ().

Докажем теперь одну из основных формул интегрального исчисления.

[1] Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.

[2] Функция называется непрерывно дифференцируемой на множестве если она и ее производная непрерывны на

[3] На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью, с боков– прямыми и

Пусть даны два множества и

Определение 1. Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент по закону При этом называется аргументом функции а значением этой функции (при указаннном значении аргумента). Множество называется областью определения функции (обозначение:), а множество называется множеством значений этой функции.

Чаще всего функцию задают двумя способами: а) табличный способ (здесь для каждого аргумента указывается соответствующий) и б ) аналитически (формулой; например). При аналитическом задании функции в качестве области определения обычно берут естественную область определения, т.е. множество { выражение имеет смысл }. Например, Будет также использоваться обозначение для множества всех значений когда пробегает подмножество

Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой

и просто - окрестность точки совпадающую с указанным интервалом:

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (в самой точке функция можеть быть определена или нет; её значение в точке не существенно).

Определение 2. Говорят, что число P является пределом функции в точке (или при если для произвольного числа найдется число (зависящее, вообще говоря, от такое, что для всех значений, удовлетворяющих неравенству будет иметь место неравенство При этом пишут и читают: “ предел функции при равен ”.

Это определение записывают кратко так:

Отметим, что в этом определении не фигурирует значение функции в точке (стремится к но так как Это означает, что предел не зависит от того, каким является значение функции в точке Например, функции

имеют один и тот же предел в точке

Геометрически высказывание (1) означает, что для любого существует число такое, что кривая при всех лежит внутри полосы Если эта ситуация будет иметь место для произвольного интервала (или, что то же самое, для произвольного то число будет пределом функции при. Если же существует интервал такой, что в любой проколотой окрестности точки найдется абсцисса для которой то Геометрические соображения часто используют при доказательстве существования пределов для конкретных функций.

Теорема 1. Если существует (конечный) предел, то он единственен, а сама функция f(x) является ограниченной при, т.е.