Критерии подобия

Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем. Первая и вторая теоремы подобия формулируют ос­новные свойства подобных между собой явлений, третья устанав­ливает признаки, по которым можно определить, подобны ли рас­сматриваемые явления.

Сущность теорем подобия:

первой – в подобных явлениях все одноименные числа подобия (в том числе и критерии подобия) должны быть численно одинако­вы;

второй – зависимость между переменными, характеризующими какой–либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия;

третьей – подобны те явления, у которых одноименные крите­рии подобия одинаковы.

Теория подобия дает возможность на основе анализа матема­тического описания того или иного процесса ответить на вопрос, сколько должно быть критериев в критериальном уравнении, и раскрывает содержание всех критериев, однако не позволяет найти конкретную функциональную зависимость определяемого крите­рия от определяющих. Последняя задача решается путем постанов­ки экспериментов, моделирующих исследуемый процесс, и соответ­ствующей обработки полученных данных. Критериальные уравне­ния используются для расчета искомой величины, входящей в оп­ределяемый критерий.

Все критерии подобия безразмерные величины. Их можно ум­ножать и делить один на другой, возводить в степень. Получаемые при этом комплексы безразмерных величин также являются крите­риями подобия.

В конвективном теплообмене очень часто по критериальным уравнениям рассчитывают коэффициент теплообмена а. Опреде­ляемый критерий, содержащий коэффициент теплообмена, можно получить, переходя к безразмерным переменным в дифференциаль­ном уравнении теплоотдачи.

Введем новые переменные: , , где l – некоторый характерный размер. Тогда уравнение примет вид:

. (10.11)

Полученный безразмерный комплекс, стоящий в левой части, называется числом Нуссельта

. (10.12)

Он представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи. Числа подобия, составленные только из заданных параметров ма­тематического описания задачи, называются критериями подобия. Анализ уравнений конвективного теплообмена позволяет получить следующие основные критерии подобия:

– критерий Рейнольдса, представляющий собой отношение сил
инерции к силам вязкости

; (10.13)

– критерий Грасгофа, характеризующий подъемную силу, возникшую вследствие разности плотности жидкости

; (10.14)

– критерий Прандтля, определяющий физические свойства
жидкости

Pr = v/a. (10.15)

Входящие в эти критерии параметры v, а, β должны быть за­даны условиями однозначности.

В уравнениях (10.13) – (10.15): v – кинематическая вязкость, м²/с; о – температуропроводность, м²/с; β – температурный коэф­фициент, 1/К; w – скорость жидкости, м/с; l – характерный размер, м; t_c, t_ж – температура жидкости у стенки и в ядре потока.

При описании теплоотдачи, усредненной по всей поверхности теплообмена и не усложненной фазовыми или химическими пре­вращениями, функциональная зависимость между определяемым и определяющими критериями подобия имеет вид:

Nu = f(Re,Pr,Gr). (10.16)

Конкретный вид уравнения (10.13), получаемого обычно экспериментальным путем, зависит от характера рассматриваемого яв­ления теплоотдачи, геометрических параметров системы и условий проведения процесса.

При расчете коэффициента теплообмена сначала из критери­ального уравнения находят число Nu, а затем рассчитывают коэф­фициент теплообмена:

a = Nu(λ/l). (10.17)