Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов

Пусть дан линейный оператор (линейное пространство над числовом полем [4]).

Определение 2. Вектор называется собственным вектором, соответствующим собственному значению, если: а) б) Совокупность всех различных собственных значений оператора называют спектром оператора. Обозначение:

Например, если матрица то вектор является собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному значению так как При этом

Отметим очевидное свойство собственных векторов: если собственный вектор оператора соответствующий собственному значению то тоже собственный вектор оператора соответствующий собственному значению В ряде случаев, выбирая постоянную можно упростить вид собственных векторов.

Свойства собственных векторов.

1) собственные векторы соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

2) все собственные векторы оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, образуют линейное подпространство в (его называют собственным пространством оператора отвечающим собственному значению).

3) В пространстве любой линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Опишем теперь, как вычисляются собственные векторы и собственные значения. Зафиксируем в пространстве некоторый базис и вычислим матрицу оператора в этом базисе. Тогда операторное уравнение (с учетом того, где) можно записать в матричном виде

Эта система должна иметь нетривиальное решение поэтому ее определитель должен равняться нулю

Определитель (5) называется характеристическим определителем матрицы (или оператора). Раскрывая его, получим так называемое характеристическое уравнение, решая которое, найдем собственные значения матрицы (или оператора). Положив в (4) и решив полученную алгебраическую систему уравнений относительно вектора-столбца, найдем все собственные векторы соответствующие собственному значению матрицы Затем по формуле вычислим собственные векторы оператора, соответствующие собственному значению

Зачем нужны собственные векторы? Оказывается они обладают следующим важным свойством.

Теорема 4. Если оператор имеет в поле различных собственных значений, то собственные векторы соответсвующие этим значениям, образуют базис в Матрица оператора в этом базисе будет диагональной:

Замечание 3. Оператор называется диагонализируемым (или оператором простой структуры), если в существует базис, в котором матрица этого оператора диагональна. Из теоремы 4 следует, что оператор, имеющий в в поле различных собственных значений, диагонализируем. Обратное, вообще говоря, не верно: оператор может быть диагонализируемым, не имея различных собственных значений. Например, единичная матрица размерности диагонализируема, но она имеет только одно собственное значение кратности В этом случае матрица имеет базис из собственных векторов, но все они отвечают собственному значению

Докажем теперь следующий важный результат.

Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр.

Доказательство. Пусть матрицы и подобны. Тогда существует невырожденная матрица такая что Поэтому Используя теорему об определителе произведения матриц, отсюда получаем, что

Учитывая, что получаем отсюда равенство которое показывает, что характеристические уравнения матриц и совпадают, поэтому они имею одинаковый спектр. Теорема доказана.

Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса