Векторы. Координаты векторов и линейные операции над векторами

Кривые второго порядка на плоскости

Множество точек на плоскости[6] удовлетворяющих уравнению

где не обращаются одновременно в нуль, называется кривой второго порядка на плоскости. Старшие члены в (2) образуют действительную квадратичную форму

с матрицей По теореме 4 ортогональным преобразованием (где матрица из ортонормированных собственных векторов матрицы

) ее можно привести к каноническому виду, где собственные значения матрицы При этом преобразовании исходное уравнение (2) приводится к виду

Так как то число является определителем квадратичной формы Проведем классификацию кривых второго порядка (2) в случае В этом случае (применяя метод выделения полного квадрата) уравнение (4) можно привести к виду Сделав ещё одну замену переменных получим уравнение

если и если

[1] Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент

[2] Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.

[3] Если операторлинейный, то пишут опуская скобки.

[4] В качестве обычно берут множество действительных чисел или множество комплексных чисел

[5] Приведение квадратичной формы к виду (1) называют ещё приведением её к главным осям

[6] Эту плоскость мы будем обозначать так же, как и множество геометрических векторов, буквой.

Множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве обозначают буквой а множество всех векторов на плоскости – буквой Ниже все понятия и утверждения формулируютя для пространства Ясно, что они очевидном образом переносятся и на пространство Перейдем к изложению основных понятий.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой причем два вектора считаются р̀авными, если один из них получен из другого параллельным переносом(см. Р1). Длина направленного отрезка называется длиной вектора. Векторы и лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными; если при этом их направления совпадают, то пишут а если они имеют противоположные направления, то пишут Таким образом, Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (обозначение:). Считают, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору и имеет произвольное направление.

Заметим, что векторы обозначаются также малыми латинскими буквами:

Напомним, что осью (в пространстве или на плоскости) называется прямая с выбранной на ней (положительным) направлением и масштабом (единицей измерения). Обозначение: При этом каждой точке оси соответствует единственное действительное число, и обратно: каждому действительному числу числу соответствует единственная точка на числовой оси. Единичный вектор лежащий на оси и направленный так же, как ось, называется ортом оси

Пусть произвольная точка в пространстве (или на плоскости). Проведем через плоскость Тогда точка называется проекцией точки на ось (обозначение:).

Определение 2. Если вектор, то вектор где называется геометрической проекцией вектора на ось (см.Р2) а число

называется просто проекцией вектора на ось и обозначается (обратите внимание на различие в написаниях и).

В пространстве рассмотрим декартовую систему координат, определяемую осями с ортами соответственно.

Определение 3. Числа называются координатами вектора в декартовой системе координат. Обозначение:

Если начало вектора а конец вектора то =

Орты осей декартовой системы координат имеют следующие координаты:

Определим теперь линейные операции над геометрическими векторами. Выпустим векторы и из общего начала и построим параллелограмм со сторонами и. Пусть диагональ этого параллелограмма.

1. Суммой двух векторов и называется вектор совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного указанным образом на векторах и (см.Р3).

2. Разностью векторов и называется такой вектор что Обозначение:

Если векторы и имеют общее начало, то вектор будет совпадать с вектором, выпущенным из конца вектора в конец вектора (см.Р4).

3. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину и направленный так же, как и если и противоположно вектору если

Обозначение: Если же то

Введенные операции над векторами (их называют линейными операциями) обладают свойствами аналогичных операций для чисел (свойства асоциативности, коммутативности, дистрибутивности и т.д.), которые используются при вычислениях. Например,

Из определения коллинеарных векторов вытекает, что

векторы и коллинеарны тогда и толко тогда, когда существует число такое, что

Теперь ясно, что по векторам и можно построить любую их линейную комбинацию

Используя геометрические соображения, легко доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Любой вектор может быть разложен в линейную комбинацию ортов причем это разложение единственно, а числа являются

координатами вектора в выбранной декартовой системе координат

Замечание 1. Ниже будет дано определение базиса в и будет показано что орты образуют базис в Кроме того, будет показано, что в существует бесконечное множество базисов. Базис обычно называют стандартным базисом в.

Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства и упорядочными тройками чисел Именно: каждому вектору

соответствует единственная упорядочная тройка чисел где координаты вектора в базисе и наоборот: каждой упорядочной тройке чисел соответствует единственный вектор Поэтому часто оттождествляют векторы и их координаты и пишут При этом вместо того, чтобы совершать геометрически линейные операции над векторами совершают их аналитически, в координатной форме. Это оправдывается следующим утверждением.

Теорема 2. Пусть векторы и заданы своими координатами: Тогда их линейная комбинация в координатной форме имеет вид

Доказательство. Имеем

поэтому

Теорема доказана.

Используя теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда, легко доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Если вектор задан своими координатами в базисе, то его длина вычисляется по формуле

Определение 4. Углом между векторами и называется угол, на который нужно повернуть первый вектор до совпадения со вторым вектором против часовой стрелки. Обозначение: