2014-02-18
976
Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел
Определение 1. Пространство называется евклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов и определено число называемое скалярным произведением и, удовлетворяющее следующим свойствам:
1. П.О. 2. С. 3. Л.
(здесь произвольные векторы, произвольные числа).
Например, обычное скалярное произведение в геометрическом пространстве трехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому - евклидово пространство. Очевидно, что пространство (мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением
также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой и мы будем пользоваться этим обозначением.
Если линейное пространство над множеством комплексных чисел и если в нем введено скалярное произведение удовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам
то пространство называется унитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение:). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства.
Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если
Имеет место следующее утверждение: любая система попарно ортогональных векторов в линейно независима. Действительно, пусть. Умножая это равенство скалярно на будем иметь
Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю. Это означает, что векторы линейно независимы.
Определение 3. Базиспространства называется ортонормированным, если
Например, базис в пространстве является ортонормированным.
Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.
Определение 4. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов и определено число называемое расстоянием между и (или метрикой в), обладающее следующими свойствами:
4. П.О. 5. С. 6. Т.
( произвольные векторы из пространства ).
Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространством с метрикой (проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число называется длиной (или нормой) вектора Так что в евклидовом пространстве
В любом евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского:
Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторами и
Теорема 1. В любом евклидовом пространстве размерности существует ортонормированный базис. Координаты вектора в этом базисе имеют вид
Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем. Умножая скалярно это равенство на будем иметь
Теорема доказана.
Введем следующее важное понятие.
Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространстве называется сопряженным к оператору если для всех
имеет место равенство Обозначение:
Теорема 2. В любом ортонормированном базисе унитарного пространства матрица оператора является сопряженной по отношению к матрице оператора т.е. если матрица оператора то матрицей оператора будет матрица
И, наконец, заметим, что квадратная матрица называется симметрической, т.е. Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными.
