Лекция №10. Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Тема: «Коши, производные»

Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.

f(a)=A f(b)=B A¹B. Тогда "С лежащею между А и В, $ х₀Î(a,b): f(x₀)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.

Доказательство: A<B, "CÎ(A,B) g(x)=f(x)-C.

Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]

g(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №1Þ[1] $ x₀Î(a,b):g(x₀), то естьf(x₀)-C=0Þ f(x₀)=c

g(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d]Ì[A,B]

[c,d)ÏE(f)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

Производная функции. ∆Х

Пусть y=f(x) определена в O(x₀)

∆x=x-x₀ – называется приращением аргумента в т х₀ Х

^Х_° ^Х