Физический смысл производной

Разность значений функций.

∆y=∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) – называется приращением функции в точки х₀. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x®0}

lim[f(x)-f(x₀)]=lim[f(x)-f(x₀)]º0 lim[f(x)]=f(x₀)]

^x-x_°^{®0 x®x}_° ^x®x_°

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x®0}

Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и $ lim[∆y/∆x]<¥, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

^∆х®0

точке х₀.

Обозначения:

f’(x₀), y’(x₀), dy/dx, df(x₀)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x₀) по определению = lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)ºlim∆y/∆xºdy/dx

^{∆x®0 ∆x®0}

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:

S

x

x₀ x

t₀ t

s(t)ºx(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t₀)

∆s/∆t=[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_cp. Если ∆t®0

тогда v_cp®v_мнг

lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_мнг

^{∆t®0 t®t}_°