Лекция №9. Непрерывность некоторых функций

Непрерывность некоторых функций.

1) y=c (постоянная) непрерывна в "х₀Î R lim c=c. Зададим "ε>0 рассмотрим разность |f(x)-f(x₀)|=|c-c|=0<ε

^x®x_°

" x: |x-x₀|<d ("d>0)!

2) y=x непрерывна в " x₀Î R, то есть lim x=x_0. Зададим "ε>0 рассмотрим разность |f(x)-f(x₀)|=|x-x₀|<ε

^x®x_°

" x: |x-x₀|<d ("d>0)! Þd=ε!

Следствие.

Многочлен p(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

(a_n,a_n-1…a₁,a₀ – зададим число)

n=0,1,2,3…. непрерывен в любой точки х₀ оси как сумма произведения непрерывной функции. Рациональная функция:

R(x)=p(x)/q(x). Частная двух многочленов непрерывна в любой точки х₀ в которой q(x)¹0

Тема: «Точки разрыва»

1) Доказать, что lim [((1+x)^p-1)/px]=1

^x®0

y=(1+x)^p-1

lim [((1+x)^p-1)/px]= x®0 Þ y®0 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)·

^x®0 (1+x)^p=y+1 ^{x®0 x®0}

p[ln(1+x)]=ln(y+1)

·lim([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать Þ (1+x)^p-1~px при x®0

^{x®0 y®0} (1+x)^p=1+px+o(x) при х®0

2) Доказать, что lim (e^x-1)/x=1

^x®0

y=e^x-1

lim (e^x-1)/x= x®0 Þ y®0 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать Þ

^x®0 e^x=y+1 ^y®0

x=ln(y+1)

e^x-1~x при x®0

e^x=1+x+o(x) при х®0