Полное исследование функции

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+¥) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

^х®+¥

функции на бесконечности.

1) Область определения

2) Симметрия и периодичность

3) Вертикальные асимптоты

4) Наклонные асимптоты

5) Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x) существует

6) Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x) существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости

7) Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно)

Пример:

1) Область определения D: x¹3

2) Функция не симметрична и не периодична

3)

Þ х=3 правая и левая вертикальная асимптота

4)

Þ y=0 правая и левая горизонтальная асимптота

5)

критическая точка х₁=-3/2

f(-3/2)=4/243

6)

критическая точка х₂=-3

f(-3)=1/72

7)x=0 y=0

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

1) Метод хорд

а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]

б) f(a)f(b)<0

в) f’(x) и f’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b]

f(x)=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b))