Гидродинамическое подобие

При изучении явлений, происходящих в природе и технике, наука широко пользуется методом моделирования этих явлений. Смысл моделирования заключается в том, чтобы по результатам опытов на модели судить о явлениях, происходящих в натурных условиях.

Для использования результатов модельных исследований в натуре необходимо знать теорию подобия. Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих: геометрического подобия, кинематического и динамического.

Геометрическое подобие требует постоянного отношения между линейными размерами модели и натуры, то есть постоянного линейного масштаба К_L(idem – одинаково).

Кинематическое подобие требует постоянного отношения между местными скоростями, ускорениями в натуре и на модели.

Динамическое подобие требует, чтобы силы, действующие в натуре, были подобны силам, действующим в модели.

В поисках жидкостей обычно действуют разные силы: силы давления, силы трения, тяжести, инерции. Осуществление на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным, поэтому обычно имеют дело с частичным подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь главных основных сил.

1. На жидкость действуют лишь силы давления и инерции.

Тогда, условием гидродинамического подобия двух потоков является равенство чисел Эйлера.

Число Эйлера есть величина пропорциональная отношению сил давления к силам инерции.

2.На жидкость действуют силы вязкости, давления и инерции.

В этом случае условием гидродинамического подобия потоков является равенство чисел Рейнольдса, величина пропорциональная отношению сил инерции к силам вязкости.

3. На жидкость действуют силы тяжести, давления и инерции. Следовательно, условием гидродинамического подобия потоков являются равенство чисел Фруда, величина пропорциональная отношению сил инерции к силам тяжести.

Формула. Критерий R_e является особенно важным при рассмотрении напорных потоков, а критерий Фруда – для безнапорных течений в открытых руслах.

Помимо перечисленных основных критериев подобия (Е_U,R_eF_r) в гидравлике применяются и другие критерии для особых случаев течения жидкости.

Лекция 6

Ламинарное и турбулентное движение жидкости.

Как показывают опыты, возможны два режима течения жидкостей и газов: ламинарный и турбулентный.

Ламинарным называется сложное течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсаций скоростей и давлений. При ламинарном движении жидкости в прямой трубе постоянного поперечного сечения все линии тока направлены параллельно оси труб, отсутствуют поперечные перемещения жидкости. Однако, ламинарное движение нельзя считать безвихревым, так как в нем хотя и нет видимых вихрей, но одновременно с поступательным движением имеет место упорядоченное вращательное движение отдельных частиц жидкости вокруг своих мгновенных центров с некоторыми угловыми скоростями.

Турбулентным называется течение, cопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. При турбулентном течении наряду с основным продольным перемещением жидкости происходят поперечные перемещения и вращательное движение отдельных объемов жидкости.

Изменение режима течения происходит при определенном соотношении между скоростью V, диаметром d, и вязкостью υ.Эти три фактора входят в формулу безразмерного критерия Рейнольдса R_e=V_d/υ, поэтому вполне закономерно, что именно число R_e, является критерием, определяющим режим течения в трубах.

Число R_e, при котором ламинарное движение приходит в турбулентное, называется критическим Reкр.

Как показывают опыты, для труб круглого сечения Rекр = 2300, то есть при Re< Reкр течение является ламинарным, а при Rе>Reкр – турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при Re =4000, а при Re=2300 – 4000 имеет место переходная критическая область.

Смена режима течения при достижении Re кр обусловлена тем, что одно течение теряет устойчивость, а другое – приобретает.

Рассмотрим более подробно ламинарное течение.

Одним из наиболее простых видов движения вязкой жидкости является ламинарное движение в цилиндрической трубе, а в особенности его частный случай - установившееся равномерное движение. Теория ламинарного движения жидкости основывается на законе трения Ньютона. Это трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии.

Рассмотрим установленное ламинарное течение жидкости в прямой трубе с d=2 r₀

Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод допустим, что труба расположена горизонтально.

Пусть в сечении 1-1 давление равно P₁ а в сечении 2-2 – P_2.

Ввиду постоянства диаметра трубы V =const, £ = const, тогда уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид:

Рисунок

отсюда ,что и будут показывать пьезометры, установленные в сечениях.

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем.

Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости, то есть равенство 0 суммы сил, действующих на объем.

Отсюда следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в зависимости от радиуса.

Если выразить касательное напряжение t по закону Ньютона, то будем иметь

Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета r (от оси к стенке противоположного направления отсчета y (от стенки)

И подставить значение t в предыдущее уравнение, то получим

Отсюда найдем приращение скорости.

Выполнив интегрирование получим.

Постоянную интегрирования найдем из условия при r =r_0; V = 0

Скорость по окружности радиусом r равна

Это выражение является законом распределения скорости по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени. Максимальная скорость, имеющая место в центре сечения при r=0 равна