Решение. Гидродинамическое подобие промышленного аппарата и модели

Пример 1

Гидродинамическое подобие промышленного аппарата и модели

Исходные данные:

Для экспериментального изучения в лабораторных условиях производственного процесса изготовлена геометрическая модель промышленного аппарата в масштабе 1:10.

В производственном аппарате рабочее вещество – горячий воздух (100С, атмосферное давление) движущийся со скоростью 3 м/с. В лабораторной модели в качестве рабочего вещества предполагается применить воздух атмосферного давления с температурой 22 С.

Возможно ли при этих условиях получить полное гидродинамическое подобие промышленного аппарата и модели, и какова должна быть скорость воздуха в модели?

Основные критерии гидродинамического подобия потоков, протекающих по трубам и каналам: критерий Рейнольдса, характеризующий гидродинамический режим и являющийся мерой отношения сил инерции и внутреннего трения в потоке:

Re = vdr /m = vd/n, (2.5)

где v – средняя скорость потока, м/с; d – диаметр трубопровода, м; – плотность жидкости (газа), кг/м³; – динамический коэффициент вязкости, Пас; n – кинематический коэффициент вязкости, м²/c.

Для потоков некруглого поперечного сечения в выражениях для числа Re подставляется эквивалентный диаметр, равный учетверенному гидравлическому радиусу.

Критерий Фруда, являющийся мерой отношения сил инерции и тяжести в потоке:

Fr = v²/(gd), (2.6)

где g – ускорение свободного падения, м/с².

Критерий Эйлера, являющийся мерой отношения сил давления и инерции в потоке:

Eu = D p/(rv²), (2.7)

где p – разность давлений (потеря давления, затраченного на преодоление гидравлического сопротивления), Па.

Критерий гомохронности, характеризующий влияние нестационарности движения на скорость потока:

Ho = vt/d, (2.8)

где t – время, с.

С учетом исходных данных, для соблюдения гидродинамического подобия в рассматриваемом случае необходимо, при подобных граничных условиях, равенство критериев Рейнольдса и Фруда в модели и производственном аппарате, т.е. должно быть:

Re₁ = Re₂; v₁d₁r₁/m₁ = v₂d₂r₂/m₂; (2.9)

Fr₁ = Fr₂; v₁²/(gd₁) = v₂²/(gd₂). (2.10)

В этих уравнениях индекс “1” относится к промышленному аппарату, индекс “2” – к модели.

Имеем:

v₁ = 3 м/с; d₂ = 0,1d₁.

На основании уравнений Клапейрона, плотность любого газа при температуре “T” и давлении “p” может быть рассчитана по формуле:

r = r₀ = , (2.11)

где r₀ = – плотность газа при нормальных условиях, т.е. при T₀ = 0 ⁰С = 273,15 К и
p₀ = 760 мм рт. ст. = 101325 Па, кг/м³ (для воздуха r₀ = 1,293 кг/м³); М – мольная масса газа, кг/кмоль; Т – температура, К.

По формуле (2.11) для указанных исходных данных получим:

₁ = 1,293(273/373) = 0,945 кг/м³;

₂ = 1,293(273/295) = 1,19 кг/м³.

По номограмме (см. рис. 2.4) соответствующие значения динамической вязкости составят:

1 – О₂; 2 – NO; 3 – CO₂; 4 – HCl; 5 – воздух; 6 – N₂; 7 – SO₂; 8 – CH₄; 9 – H₂O; 10 – NH₃; 11 – C₂H₀;
12 – H₂; 13 – C₆H₆; 14 – 9H₂+N₂; 15 – 3H₂+N₂; 16 – CO; 17 – Cl₂

Рисунок 2.4 – Номограмма для определения динамического коэффициента

вязкости газов при р = 1 атм.

₁ = 0,0215 10-3Пас; ₂=0,018510-3Пас.

Подставляя эти значения в уравнение (2.9), находим:

3d₁0,945/(0,021510-3) = v₂ 0,1d₁1,19/(0,018510-3),

откуда

м/с.

Подстановка в уравнение (2.10) дает:

,

откуда

м/с.

Полученные результаты показывают, что соблюдение полного гидродинамического подобия, т.е. одновременного подобия сил трения и сил тяжести, в модели и промышленном аппарате при заданных условиях невозможно.

Придется ограничиться приближенным моделированием процесса, как это в большинстве случаев на практике и делается, т.е. ограничиться соблюдением только одного условия (либо Re = idem, либо Fr = idem) в зависимости от того, какое из этих условий является более существенным. Если, например, большее значение имеют силы трения, т.е. критерий Re, то скорость воздуха в модели должна быть взята 20,5 м/с.