Теория подобия

В ХТП имеет место множество технологических параметров (). Получить математическую модель ХТП (систему уравнений и неравенств, адекватно описывающую данный процесс) можно аналитически. Но при этом получаются трудноразрешимые дифференциальные уравнения. Поэтому применяют моделирование ХТП – метод исследования процессов на моделях, отличающихся от натуры (промышленного аналога) в основном масштабом.

Различают два метода моделирования:

1) метод теории подобия (обобщенных переменных), т.е. физическое моделирование;

2) метод численного эксперимента (математическое моделирование).

Для конкретного процесса надо учитывать определенные ограничения. Поэтому математическую модель необходимо дополнить условиями однозначности. К ним относятся:

1) геометрическая форма (конструкция и размеры аппаратов);

2) физические свойства компонентов;

3) начальные условия (начальная температура, начальная концентрация и т.д.);

4) граничные условия (например, скорость жидкости на стенке равна нулю).

Расчетные соотношения в обобщенных переменных (критериальные уравнения) получают опытным путем. Однако эксперименты проводят не на натурных объектах (промышленных аппаратах), а на их лабораторных моделях. Натура и модель должны отвечать определенным требованиям, которые устанавливает теория подобия.

Теория подобия – учение о методах научного обобщения результатов экспериментов для подобных процессов и явлений.

Для подобия натуры и модели между ними должно иметь место геометрическое, физическое, временное подобие, а также подобие начальных и граничных условий.

Подобие можно задавать с помощью констант и инвариантов подобия.

Пусть имеются промышленный цилиндрический аппарат и его лабораторная модель. H и h – высота, D и d – диаметр аппарата и модели, 0^’, 0^”, 1^’, 1^”, 2^’, 2^”, … - сходственные точки в рабочем объеме аппарата и лабораторной модели.

Если аппарат и модель подобны, то отношения их сходственных величин должны быть постоянны. Константу подобия составляют в виде отношения однородных (одноименных) сходственных величин.

Запишем константу геометрического подобия (масштабный множитель):

Составим константу подобия скоростей:

Аналогично записываются константы плотностей, давлений, вязкостей и т.п.

Константа временного подобия:

При временном подобие натуры и модели интервалы времени, в течение которых частицы жидкости в них проходят геометрически подобные траектории, находятся в постоянных соотношениях.

При подобии начальных и граничных условий постоянны отношения значений параметров в начале и на границах систем (натура и модели).

Константы подобия зависят от соотношения размеров натуры и модели. Это создает трудности при масштабном переходе от модели к аппарату. Инвариатные подобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели. Инварианты подобия составляют в виде отношений сходственных величин в пределах одной системы.

Запишем инвариант геометрического подобия:

(одно и то же).

Составим инвариант вязкостей:

Инвариант подобия, составленный из однородных величин, - параметрический критерий (симплекс). Например, H/D – геометрический симплекс.

Инвариант подобия, составленный из разноименных величин, - критерий подобия.

Критерии подобия безразмерны. Подобные процессы и явления характеризуются численно равными критериями подобия.

Гидродинамическое подобие

Критерии гидродинамического подобия можно получить двумя способами:

1) методом анализа размерностей физических величин;

2) масштабным преобразованием уравнений Навье-Стокса.

Запишем уравнение Навье-Стокса для вертикальной оси z:

Сделаем подобные замены:

– соответствует нестационарности потока;

– характеризует силы инерции;

– отвечает силам тяжести;

– выражает силы давления;

– соответствует силам трения (вязкости).

Взяв отношения приведенных комплексов к , получим критерий гидродинамического подобия:

– критерий Рейнольдса (мера соотношения сил инерции и вязкости (трения) в потоке жидкости.)

– критерий Фруда (мера соотношения сил инерции и гравитации в потоке жидкости).

– критерий Эйлера (мера соотношения изменения сил гидростатического давления к силам инерции в потоке жидкости).

– критерий гомохронности (характеризует нестационарный характер потока жидкости).

l – характерный (определяющий) линейный размер (внутренний диаметр трубы, диаметр твердой частицы, эквивалентный диаметр зернистого слоя и т.п.).

Равенство критериев Re, Fr, Eu и Ho, т.е. основных критериев гидродинамического подобия, в сходственных точках натуры и модели – необходимое и достаточное условие их гидродинамического подобия.

В процессе естественной конвекции практически невозможно измерить скорость ω. Поэтому ее исключают:

– критерий Галилея (мера соотношения сил гравитации и вязкости в потоке жидкости).

– критерий Архимеда (мера соотношения сил тяжести, трения и подъемной силы в потоке жидкости).

Критериальные уравнения движения жидкости.

Эти уравнения – решение уравнений Навье-Стокса. В общем виде:

(А) –для нестационарного потока.

Для стационарного потока уравнение (А) упрощается: (В).

Критериальные уравнения движения жидкости удобно представить в виде степенной зависимости:

, (С)

где Г – геометрический симплекс (например, ).

Величины А, m, n, p и q определяют опытным путем, например, с использованием метода наименьших квадратов.

Критерий Eu – определяемый, остальные критерии – определяющие. При проведении гидравлических расчетов возникает необходимость определения – гидравлического сопротивления трубопровода, аппарата и т.д.