Поверхностный интеграл

Площадь поверхности

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность и пусть Произведем разбиение

области на частичные подобласти Это разбиение индуцирует разбиение поверхности на частичные поверхности Возьмем произвольно точку и в соответствующей точке построим плоскость касательную к поверхности Цилиндр с основанием и образующей, параллельной оси вырежит из этой плоскости кусок Обозначим через площадь куска а через диаметр разбиения

Определение 4. Если существует конечный предел и он не зависит от вида разбиения и выбора точек, то его называют площадью поверхности

Теорема 3. Пусть поверхность задаётся уравнением причем функция и её частные производные непрерывны в замкнутой ограниченной области Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле

Доказательство. Вычислим площадь куска Так как то

где площадь области а угол между плоскостями и Угол очевидно, равен углу между нормалями и плоскостей и соответсвенно. Так как то

Следовательно, По определению 4 имеем

Теорема доказана.

Пример 3. Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезан-

ную цилиндром

Решение. Здесь область есть круг Площадь искомой поверхнос-

ти находим по формуле (8):

Лекция 6. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности) и его вычисление. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Поток векторного поля, его свойства и вычисление. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса

Пусть в пространстве переменных и задана некоторая поверхность и пусть функция определена на этой поверхности. Произведём разбиение поверхности на частичные поверхности с помощью конечного числа непрерывных кривых. Возьмём произвольно точки и составим интегральную сумму где площадь куска. Обозначим.

Определение 1. Если существует предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек, то его называют поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначают

Теорема 1. Если поверхность задана уравнением и функции

непрерывны в замкнутой ограниченной области а функция непрерывна на поверхности то

Доказательство следует из равенства

и теоремы о среднем Подставляя это в предыдущее равенство и учитывая непрерывность всех функций, будем иметь

Теорема доказана.

Так как поверхностный интеграл сводится к двойному, то для него справедливы все свойства последнего: линейность, аддитивность, монотонность, теорема о среднем и т.д. Мы не будем их выписывать. Механический смысл поверхностного интеграла состоит в следующем: если плотность пластинки в точке то масса этой пластинки.

2. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Ориентируемые поверхности и поток векторного поля через поверхность

Пусть некоторая область в пространстве

Определение 2. Говорят, что в области задано векторное поле если в каждой точке определен вектор

Это определение не зависит от выбора системы координат в Если в выбрана декартова система координат, то каждой точке ставится в соответствие вектор

Примеры векторных полей: а) скорость движущейся жидкости в точке (векторное полей скоростей жидкости); б) гравитационное поле (здесь тело массой (масса земли) находится в точке а тело единичной массы находится в точке и на неё действует сила, гравитационная постоянная).

Векторное поле называеется непрерывным (кусочно непрерывным, гладким, непрерывно дифференцируемым) в области, если все его компоненты непрерывны (соответственно: кусочно непрерывны, гладки, непрерывно дифференцируемы) в области.

Пусть векторное поле определено в области.

Определение 3. Линия называется векторной линией поля если в каждой точке поле касается кривой Поверхность называется векторной трубкой поля если она сплошь состоит из векторных линий этого поля.

Теорема 2. Пусть поле непрерывно дифференци-

руемо в области. Если параметрические уравнения векторной линии поля то для всех выполняются равенства

Обратно: если кривая удовлетворяет соотношени-

ям (1), то векторная линия поля (уравнения (2) называются уравнениями векторных линий поля).

Действительно, равенства (2) (если в них подставить уравнениялинии) выражают условия коллинеарности векторов и в одной и той же точке Значит, линия касается поля.

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность и пусть в каждой точке этой поверхности существует нормаль. На этой нормали можно выбрать два единичных вектора: и

Определение 4. Если при движении точки по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не пересекающему её границы, единичный вектор непрерывно изменяется и возвращается в точку с первоначальным направлением, то говорят, что поверхность яв-

ляется двухсторонней. При этом сторона поверхности, определяемая вектором, называется внешней (или верхней) стороной поверхности (обозначение:), а сторона поверхности, определяемая вектором называется внутренней (или нижней) стороной поверхности (обозначение:). Векторы и называются ориентациями поверхности, а сама поверхность называется ориентируемой поверхностью.

Если же на поверхности найдётся хотя бы один замкнутый контур, при движении на котором единичный вектор возвращается в точку с противоположным направлением, то говорят, что поверхность является односторонней или неориентируемой

поверхностью.

Примером неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса, который получается из прямоугольной полоски склеванием ее боковых после однократного их перекручивания. Перейдем к понятию потока векторного поля. Пусть дана двухсторонняя поверхность и выбрана та её сторона, которая ориентирована единичной нормалью

Определение 4. Потоком векторного поля через поверхность с ориентацией называется поверхностный интеграл

(здесь скалярное произведение векторов и).

Это определение потока не зависит от выбора системы координат. Если выбрана прямоугольная система координат, то

и поток можно записать в виде. Обозначив

перепишем предыдущее равенство в виде

В таком виде поток записан в форме поверхностного интеграла второго рода (по координатам). Все три формы записи потока встречаются в математической литературе. Мы будем пользоваться первой формой записи, указанной в определении 4.

Из свойств поверхностного интеграла первого рода вытекают аналогичные свойства потока как поверхностного интеграла второго рода (линейность, аддитивность и т.д). Единственным отличием этих свойствах является то, что интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности а интеграл второго рода (поток) зависит от выбора стороны поверхности: (это вытекает из определения 4). Дадим формулу вычисления потока.

Теорема 3. Пусть поверхность, задаваемая уравнением причем эта поверхность является гладкой, т.е. функции непрерывны в замкнутой ограниченной области Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно на поверхности Тогда

где знак (+) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором а знак (–) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором

Доказательство. Пусть поверхность ориентирована вектором Учитывая, что раскроем в (3) скалярное произведение: По теореме 1 имеем

Теорема доказана.

Замечание 1. Если поверхность задана неявно уравнением (где функции непрерывны, причем в области в которой лежит поверхность), то

При этом знак выбирается в соответствии с ориентацией поверхности.

Дадим гидромеханический смысл потока: если векторное поле скоростей жидкости, то равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность с ориентацией, определяемой нормалью

Пример 1 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти поток векторного поля через поверхность вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Решение. Так как то нормаль к боковой поверхности (конуса) будет иметь вид Выбор нормали должен быть таким, чтобы Так как в нашем случае на поверхности, то надо взять знак (+). Таким образом, нормаль будет такой: Здесь мы учли, что на поверхности выполняется равенство. Далее имеем

Область является проекцией поверхности на плоскость т.е. является кругом радиуса поэтому

3. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса

Пусть векторное поле таково, что существуют частные производные в точке

Определение 5. Дивергенцией поля в точке назывется скалярная величина Если то точка называется источником, а если то называется стоком.

Это определение дивергенции дано в декартовой системе координат. Инвариантное определение будет дано позже. Дивергенция обладает следующими свойствами:

1 (Линейность).

2. Если дифференцируемое в точке скалярное поле, а дифференцируемое в той же точке векторное поле, то в указанной точке имеет место равенство

.

Доказательства этих свойств очевидны и мы рекомендуем провести их самостоятельно. Приводимая ниже формула Остроградского-Гаусса позволяет свести поверхностный интеграл второго рода (поток) к тройному интегралу. Введём сначала следующее понятие.

Определение 6. Говорят, что область односвязна, если любой замкнутый контур можно стянуть в точку, не выходя за пределы области

Например, шар – односвязная область, а шаровое кольцо – нет.

Теорема Остроградского-Гаусса. Пусть замкнутая ограниченная односвязная область и её граница (в этом случае замкнутая поверхность). Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно дифференцируемо в а граница кусочно гладка. Тогда имеет место равенство

Доказательство проведем для случая, когда тело можно одновременно представить в следующих видах

где замкнутые ограниченные квадрируемые области, а все участвующие здесь функции непрерывны в областях соответственно. Введем векторные поля Тогда исходное векторное поле запишется в виде и значит,

Подсчитаем каждый из этих потоков. Начнем с потока

Нормаль на поверхности имеет вид так как угол острый,

так как угол тупой.

Следовательно,

Точно так же находим, что

поэтому

Теорема доказана.

Пример 2 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Решение. Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

Так как то

Тело ограничено сверху поверхностью эллиптического параболоида, а снизу – поверхностью конуса. Пересечение этих поверхностей находится из системы уравнений

т.е. пересечение является окружностью радиуса 2. Перейдем к цилиндрической системе координат: Будем иметь

Лекции 7-8. Инвариантное определение дивергенции и её физический смысл. Соленоидальное поле. Ориентируемые кривые. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формулы Грина и Стокса. Потенциальное поле и его свойства

Данное нами на предыдущей лекции определение дивергенции зависело от системы координат. Перейдем к описанию инвариантного определения дивергенции.

1. Инвариантное определение дивергенции и её физический смысл

Пусть векторное поле задано в области и пусть фиксированная точка этой области.

Окружим точку произвольной замкнутой поверхностью а тело с границей Пусть объём тела

Определение 1. Если существует конечный предел

когда поверхность стягивается в точку и этот предел не зависит от выбора поверхности то его называют дивергенцией поля в точке

Нетрудно показать, что это инвариантное определение дивергенции совпадает с ранее данным её определением, если поле дано в декартовой системе координат. Действительно, по теореме Остроградского-Гаусса имеем

Здесь мы воспользовались теоремой о среднем и тем фактом, что при точка Таким образом, инвариантное определение дивергенции совпадает с ранее данным её определением в декартовой системе координат.

Инвариантное определение дивергенции позволяет выяснить ее физический смысл. Пусть поле скоростей движующейся жидкости. Будем считать, что в области нет стоков. Тогда величина есть количество жидкости, отнесённое к объёму (средняя плотность мощности источников в), а предел этой величины при (т.е.) есть плотность мощности источников, находящихся в точке