Циркуляция и ротор векторного поля, их вычисление и физический смысл. Формула Стокса

Сведение криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру к двойному интегралу. Формула Грина

Имеет место следующее утверждение.

Теорема Грина. Пусть односвязная ограниченная область в с кусочно гладкой границей (в этом случае замкнутый контур) и пусть функции и и их частные производные непрерывны в Тогда имеет место равенство

Здесь контур обходится так, чтобы область оставалась слева от наблюдателя, идущему по этому контуру.

Доказательство проведем для области правильной в направлениях осей и с гладкой границей В этом случае область может быть описана двумя способами:

Поле можно записать в виде В силу линейности интеграла получаем, что

Преобразуем каждый из стоящих здесь интегралов:

Следовательно,

Аналогично показываем, что поэтому (согласно (4)) верно равенство (3).

Теорема доказана.

Пример 1 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка от точки к точке.

Решение. Вычисления разобьём на две части: сначала вычис-лим работу от точки до точки, затем – от точки до точки

Значит,

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл если контур треугольника с вершинами пробегаемый против часовой стрелки.

Решение. Так как контур интегрирования замкнут, то можно воспользоваться формулой Грина:

.

Интеграл численно равен площади. Так как, то

Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл (здесь единичный вектор касательной к кривой в точке а сам контур ориентирован с помощью этого вектора).

Так как циркуляция есть изученный выше криволинейный интеграл второго рода, то она обладает всеми свойствами этого интеграла (линейность, аддитивность, ориентированность и т.д.). Он имеет тот же физический смысл: если сила, действующая на материальную точку, то циркуляция равна работе силового поля по перемещению точки вдоль контура. Для вычисления циркуляции поля можно воспользоваться формулой (2):

где параметрические уравнения контура, причем функции непрерывны на отрезке и на этом отрезке, а ориентация (обход) контура соответствует возрастанию параметра

С циркуляцией поля тесно связано понятие ротора этого поля, к описанию которого мы переходим. Пусть фиксированная точка области в которой действует поле, и пусть произвольное фиксированное направление в этой точке. Проведем плоскость через точку, ортогональную вектору, и окружим эту точку кусочно гладким контуром, лежащим в плоскости. Пусть область, окружённая контуром. Будем говорить, что направление и направление на контуре согласованы, если обход контура виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки. Итак, пусть направления и контура согласованы и пусть площадь области

Определение 3. Предел

когда контур стягивается в точку называется плотностью циркуляции поля в точке в направлении вектора.

Определение 4. Ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется такой вектор проекция которого на любое направление совпадает с плотностью циркуляции поля в точке в направлении вектора, т.е. Обозначение:

Это определение ротора не зависит от выбора системы координат, т.е. является инвариантным. Используя формулу Грина, нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3 ( о вычислении ротора в декартовой системе координат ). Пусть векторное поле заданов декартовой системе координат и пусть это поле непрерывно дифференцируемо в точке Тогда

где все частные производные вычисляются в точке (здесь символический определитель разложен по первой строке).

Опишем теперь связь между циркуляцией и ротором. Сначала отметим, что область называется поверхностно односвязной, если на любой замкнутый контур можно натянуть непрерывную поверхность не выходя из области Например, шар – поверхностно односвязная область, а шар с тоннелем – не является таковой, так как на любой замкнутый контур, охватывающий тоннель, нельзя натянуть непрерывную поверхность, не выходя из

Теорема Стокса. Пусть поверхностно односвязная область и пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в Тогда каков бы ни был кусочно гладкий замкнутый контур и какова бы ни была кусочно гладкая поверхность натянутая на контур имеет место равенство ^[8]

.

Здесь нормаль к поверхности направлена так, что её направление в каждой точке согласовано с направлением обхода контура

Пример 3 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура

Решение. Поскольку контур замкнутый (окружность, находящаяся в плоскости), то можно воспользоваться формулой Стокса (6). В качестве поверхности натянутой на контур, удобно взять плоскость. Так как надо найти модуль циркуляции, то направление на контуре не имеет значения, а в качестве вектора можно взять вектор нормали к плоскости: Вычислим ротор:

По формуле Стокса имеем

Здесь проекция поверхности на плоскость т.е. круг радиуса Площадь этого круга равна Значит,

Физический смысл ротора. Пусть поле скоростей жидкости. Каждую частицу жидкости можно считать колёсиком малого радиуса, по ободку которого расположены лопасти. Под воздействием поля это колёсико совершает вращательно-поступательное движение. Вращательная компонента этого движения характеризуется а именно: если сориентировать колёсико так, чтобы оно имело максимальную скорость вращения, то будет направлен по оси вращения колёсика, а будет равен его удвоенной угловой скорости

(). При этом направление вращения колёсика и направление согласованы.