Двойной интеграл, его свойства и вычисление

Пусть даны – замкнутая ограниченная область (компакт) и функция определенная в этой области. Произведем разбиение этой области на частичные подобласти с помощью конечного числа непрерывных кривых. Обозначим через диаметр разбиения т.е. число Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму (где площадь области).

Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек то его называют двойным интегралом от функции по области и обозначают

При этом функция называется интегрируемой по области

Отметим без доказательства следующие свойства:

1) Любая функция, непрерывная на компак-

те, интегрируема на этом компакте;

2) Если функция ограничена на компакте и имеет на нем разрывы разве что на конеч-

ном числе непрерывных кривых, то она инте-

грирума в

3) Двойной интеграл от произвольной ограниченной функци по ограниченной кусочно непрерывной кривой равен нулю.

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим цилиндрическое тело с нижним основанием, верхним основанием - поверхностью и с образующей боковой поверхности, параллельной оси Произведение есть объём цилиндра высоты и площадью основания, а интегральная сумма – суть объём ступенчатого тела, построенного по разбиению. Ясно, что обём тела приближенно равен объёму этого ступенчатого тела, т.е. Это равенство будет тем точнее, чем мельче разбиение, и при оно становится точным, т.е.

Здесь слева стоит двойной интеграл, поэтому т.е. двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела

Двойные интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам одномерных интегралов. Сформулируем их, предполагая, что замкнутая ограниченная квадрируемая область в

1⁰) (линейность ) Если функции интегрируемы в, то и любая их линейная комбинация также интегрируема в, причем имеет место равенство

2⁰) (аддитивность) Если область разбита на две непересекающиеся подобласти и с помощью непрерывной кривой и если функция интегрируема в, то она интегрируема и в каждой из областей и (и наоборот). При этом имеет место равенство

3⁰) (монотонность) Если функции интегрируемы в и имеет место неравенство то

4⁰) Если функция интегрируема в и имеют место неравенства

то

где площадь области

5⁰) (теорема о среднем) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области то существует точка такая, что

Геометрически это означает, что если то объём цилиндрического тела с верхним основанием и с нижним основанием равен объёму некоторого параллелепипеда с тем же основанием и высотой

При вычислении двойных интегралов используются повторные интегралы

Теорема 1 (Фубини). Если прямоугольник и если функция кусочно непрерывна в то

Теорема 2 (вычисление двойного интеграла в криволинейной области). Если имеет вид

где функции непрерывны на отрезке и если функция непрерывна в то

Доказательство. Обозначим, и рассмотрим функцию

Эта функция кусочно непрерывна в, поэтому применима теорема Фубини:

Так как

то Теорема доказана.

Замечание 1. В случае области типа и непрерыв-

ности функции и функций имеет место равенство

Заметим, что области которые участвуют в формулах (1) и (2), являются правильными областями. Более точно: область называется правильной в направлении оси если любая прямая, параллельная оси, пересекает границу области не более чем в двух точках. Если область – неправильная, то её разбивают на правильные подобласти с помощью конечного числа непрерывных кривых и применяют к соответствующему интегралу теорему об аддитивности интеграла.

Замечание 2. Если область является правильной как в направлении оси так и в направлении оси то имеет место равенство

(в предположении, что все участвующие здесь функции непрерывны в соответствующих областях). Таким образом, в случае области описанного типа можно изменять порядок интегрирования. Этим часто пользуются, желая упростить вычисление двойного интеграла.

Пример 1( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Изменить порядок интегрирования

Решение. Сначала нарисуем область, по которой берется соответствующий двойной интеграл. Она находится между двумя параболами и Изменяя порядок интегрирования, найдём, что Поясним, как получен этот результат. Спроектируем область на ось получим отрезок Значит, пределы внешнего интеграла – суть числа и Теперь зафиксируем произвольно и проведем через точку луч в направлении оси Он пересечет нижнюю границу области в точке с ординатой (это будет нижняя граница внутреннего интеграла), а верхнюю границу области в точке с ординатой (это будет верхняя граница внутреннего интеграла).

Пример 2 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Вычислить интеграл