2014-02-18
666
Это понятие касается следующего класса задач. Представим себе, что на плоскости расположены две области 
и 
, причем область целиком распложена в области . Их площади, соответственно, равны 
и 
. В область наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадёт также и в область ?
Если предположить, что точка может попасть в любую часть области , а вероятность попадания в область пропорциональна лишь её площади и не зависит ни от расположения , ни от её формы, то искомая вероятность:
.
Это и есть так называемое «правило нахождения геометрической вероятности» [7].
Аналогично могут быть определены вероятности попадания точки:
1) в объёмную область 
величиной 
, содержащуюся в объёмной области 
величиной 
, если точка брошена наугад в объём :
;
2) на отрезок 
величиной 
, расположенный на отрезке 
величиной 
, если точка брошена наугад на отрезок :
.
Пример. Круглый диск радиуса 
разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу (рис. 2.2). По быстро вращающемуся диску произведён выстрел. Цель поражена. Найти вероятность того, что попали в заштрихованную часть.
|
|
|
Рис. 2.2. Иллюстрация к задаче о попадании в сектор диска
Решение. Идеология решения задачи проста. Пусть событие 
есть событие, состоящее в том, что попали именно в заштрихованную часть. Тогда искомая вероятность равна 
, где - площадь заштрихованной части, - площадь круга (
).
Проблема лишь в том, как найти площадь заштрихованной части. Но относится к также, как длина дуги заштрихованной части (
) относится к длине круга (
): 
, что и требовалось найти.
___________________________________________
Пример. Задача Бюффона (или задача об игле) [7]. Пусть на плоскость, разлинованную параллельными линиями с расстоянием 
, наудачу брошен отрезок (игла) длиной 
. Какова вероятность пересечения линии иглой?
Событие состоит в пересечении линии на плоскости. Игла пересекает только одну линию в силу ограничения , или не пересекает ни одной. Пусть 
- расстояние от центра иглы до ближайшей линии, а 
- угол наклона иглы к линиям. Тогда множество всех равновозможных событий 
, а множество всех благоприятствующих исходов для события 
и оба эти множества изображены ниже на рисунке. Вероятность события вычисляется как геометрическая:
, 
, 
.
Рис 2.3. Иллюстрация к задаче Бюфона
