Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий

Вычисление вероятности событий

Лекция № 2

Необходимые сведения из комбинаторики [5,6] изучим на простейших примерах.

________________________

Пример 1. При игре в русское лото из мешка поочерёдно извлекают все 90 бочонков (с различной нумерацией). Найти вероятность того, что бочонки извлекут в порядке убывания нумерации.

Решение. Здесь , множество всех равновозможных несовместных событий, образующих полную группу, представляет собой:

где обозначает комбинацию чисел , указанных на бочонках, извлечённых из мешка один за другим в результате какого-то опыта. При этом порядок, в котором следуют числа , имеет существенное значение!

Договоримся, что эти комбинации отличаются друг от друга хотя бы одним числом, стоящим на соответствующем месте. Понятно, что - полная группа (т.к. все возможные комбинации чисел от 1 до 90 здесь поименованы) равновозможных (т.к. нет предпочтения ни одной комбинации перед другими) несовместных (т.к. одновременно обе различные комбинации появиться не могут) событий.

Тогда, если мы найдём число всех комбинаций во множестве , то нужная нам вероятность есть:

т.к. число благоприятствующих комбинаций равно единице (комбинация и только она, ибо порядок чисел имеет значение).

А число найти просто. Поскольку порядок чисел имеет значение, постольку при первом извлечении бочонка у нас всего 90 возможностей, при втором – 89 (т.к. один бочонок уже извлечён из мешка). При подсчёте числа между этими числами нужно поставить знак умножить, т.к. на всякое найдётся 89 возможностей . И так далее до предпоследнего извлечения бочонка, когда останется только 2 возможности. Поэтому:

В этом последнем виде и определено в комбинаторике число

носящее название «факториал». Оно представляет собой число всех возможных комбинаций из чисел, расставленных по местам, при этом порядок, занимаемый числами, имеет существенное значение.

Итак, искомая вероятность равна:

т.к. порядок, в котором следуют числа во всевозможных комбинациях, имеет существенное значение.

Величина этого числа, стоящего в знаменателе, огромна: >, т.к. >, >, >,…,. Поэтому встретиться на практике с такой комбинацией невероятно (вероятность такой встречи практически равна нулю)!

________________________

Пример 2. При игре в русское лото из мешка поочерёдно извлекают (на сей раз) 86 бочонков (с различной нумерацией). Найти вероятность того, что бочонки появятся в строго убывающем порядке, начиная с бочонка под номером 90 (точнее появятся в таком порядке: 90, 89, 88, …, 6, 5).

Решение. Здесь - множество всех равновозможных несовместных событий, образующих полную группу - представляет собой:

где обозначает комбинацию чисел , указанных на бочонках, извлечённых из мешка один за другим в результате какого-то опыта. При этом порядок, в котором следуют числа , опять имеет существенное значение!

Снова договоримся, что эти комбинации отличаются друг от друга хотя бы одним числом, стоящим на соответствующем месте. Понятно, что - полная группа (т.к. все возможные комбинации чисел от 1 до 90 здесь поименованы) равновозможных (т.к. нет предпочтения ни одной комбинации перед другими) несовместных (т.к. одновременно обе различные комбинации появиться не могут) событий.

Тогда, если мы найдём число всех комбинаций во множестве , то нужная нам вероятность есть:

т.к. число благоприятствующих комбинаций равно единице (комбинация и только она). Порядок чисел фиксирован!

А число найти по-прежнему просто. При первом извлечении бочонка у нас всего 90 возможностей, при втором – 89 (т.к. один бочонок уже извлечён из мешка). При подсчёте числа между этими числами нужно поставить знак умножить, т.к. на всякое найдётся 89 возможностей . И так далее до последнего извлечения бочонка, когда останется только 5 возможностей. Поэтому:

где называется числом размещений.

Итак, мы познакомились с ещё одним числом, имеющим большое значение для комбинаторики (да и для нас тоже)!

Числом размещений называется частное от деления:

Оно представляет собой число всех возможных комбинаций из чисел, расставленных по местам, при этом порядок, занимаемый числами, имеет существенное значение.

Поэтому искомая вероятность равна:

Величина этого числа, стоящего в знаменателе, по-прежнему огромна. Поэтому встретиться на практике с такой комбинацией невероятно! ______________________

Пример 3. Найти вероятность угадать в лотерее «6 из 49» (когда извлекают 6 чисел из различных (!) 49 чисел) при заполнении одного варианта:

1) все шесть номеров;

2) три номера.

Решение. Займёмся сначала решением первой задачи. При заполнении одного варианта выбирают 6 чисел из чисел, следующих друг за другом, от 1 до 49. При этом порядок, в котором указаны числа в выбранном для игры варианте, не имеет значения!

Поэтому состоит из групп комбинаций, а каждая группа составлена из комбинаций всевозможных наборов заранее определённых 6 чисел . Проще говоря, набор всех возможных комбинаций (а всего их , как следует из только что разобранного примера)

и составляет одну такую группу. А из этих групп и составлено в свою очередь множество .

Но как подсчитать число всевозможных групп? Понятно, что это есть частное от деления числа (т.е. числа всех возможных комбинаций из чисел, расставленных по местам, при этом порядок имеет существенное значение) на число (т.е. число всех возможных комбинаций из чисел, расставленных по местам, при этом порядок имеет существенное значение):

которое носит название «число сочетаний из по местам».

Итак, мы пришли к понятию ещё одного важного числа для комбинаторики.

Числом сочетаний из элементов по элементам называется число:

обозначающее число способов, которыми можно расположить чисел по местам (при этом порядок, занимаемый числами, не имеет значения).

Итак, чтобы найти искомую вероятность, нужно (т.к. число благоприятствующих событий равно единице) поделить на только что найденное . Поэтому искомая вероятность равна:

Это значит, что просто так, без каких-то ухищрений, выиграть в эту игру нельзя: «выигрывает одна из 14 миллионов попыток».

Перейдём теперь к решению второй задачи. Для этого осталось подсчитать число (ибо число только что подсчитано). Но что значит угадать «три номера из шести»? Это означает «три угадали, а три в указанном варианте не угадали». А такая комбинация означает, что в ней три номера из шести указаны правильно (порядок чисел в указанном варианте не имеет значения, чему соответствует число ), а три неправильно (порядок чисел в указанном варианте по-прежнему не имеет значения, чему соответствует число ). А между этими числами нужно поставить знак умножения, т.к. на всякое из возможностей найдётся одна из возможностей . Поэтому

Отсюда, искомая (во второй раз) вероятность равна:

Проверим практикой полученный результат (ибо «практика – критерий истины»). Возьмём наугад результат какого-нибудь тиража лотереи «6 из 49». В 406 тираже, состоявшемся в 2004 году, всего было сыграно 46283 вариантов (). Из них было угадано «три номера из шести» в 685 вариантах (). Частота этого события равна:

О лучшем (совпадении) трудно было бы и мечтать: вероятность почти одинакова с частотой!

______________________

Схема урн. Отметим, что рассмотренная выше задача описывает так называемую «схему урн» (рис 2.1), состоящую в следующем.

Пусть в урне тщательно перемешаны шары, отличающиеся только цветом и пусть, например, белых там , а черных. Наугад из урны извлекаются шаров. Какова вероятность события , состоящего в том, что среди извлеченных будет белых и черных? Схема изображена ниже: