Мгновенной скоростью в момент времени t называется предел отношения вектора перемещения к интервалу времени, за которое это перемещение произошло, т. е

. (1.1)

Это значит, что вектор скорости материальной точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения (как и вектор ).

Движение точки также характеризуется ускорением , которое определяет быстроту изменения вектора скорости движения точки со временем

, (1.2)

т. е. равно производной от вектора скорости по времени. Направление вектора совпадает с направлением приращения вектора скорости за время dt.

В системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр на секунду (м/с) и метр на секунду в квадрате (м/с²).

Из формул (1.1) и (1.2) путем интегрирования можно найти и

гдеи – значения радиуса-вектора и вектора скорости в начальный момент времени t = 0. Эти значения называются начальными условиями.

Координатный способ.. Радиус-вектор точки в момент времени t можно выразить через эти координаты

(1.3)

где , , - единичные орты, направленные по осям x, y и z (рис. 1.1).

Скорость можно выразить через проекции на оси x, y, z

(1.4)

Проекции вектора можно выразить через координаты. Для этого продифференцируем выражение (1.3) по времени

(1.5)

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах в формулах (1.3) и (1.5), получим

; ; . (1.6)

Модуль скорости точки

, (1.7)

Выразим вектор ускорения точки через проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат

(1.8)

Для проекций ускорения можно получить

(1.10)

Естественный способ. Этот способ применяется, когда известна траектория точки. Положение точки М определяют дуговой координатой s, т. е. расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета О (рис. 1.3). При этом произвольно устанавливают положительное направление отсчета координаты s по траектории(указано стрелкой на рисунке).

Рис. 1.3

Движение точки задано, если известны ее траектория, начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой координаты и закон движения точки, т. е. зависимость s (t).

Определим скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения. Введем единичный вектор , связанный с движущейся точкой М и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s (рис. 1.4). Очевидно, что – переменный вектор, т. к. его направление зависит от s. Вектор скорости точки М направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить в виде

, (1.11)