Угловая скорость и ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками движения

Скорости движения различных точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, различаются. Поэтому для описания вращения твердого тела вводят угловые величины, относящиеся ко всему телу в целом, а не к отдельным его точкам. Такими величинами являются угол поворота j, угловая скорость и угловое ускорение тела.

Вектор угловой скорости тела определяют в виде:

, (1.18)

где dt – промежуток времени, за который тело совершает поворот . Вектор совпадает по направлению с вектором .

Изменение вектора  со временем характеризуют вектором углового ускорения , который определяют в виде

. (1.19)

Направление вектора  совпадает с направлением приращения  вектора .

Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Используя определения (1.18) и (1.19), получим выражения для проекций угловой скорости и углового ускорения w _z и e _z на ось вращения z, (рис. 1.7)

; . (1.20)

Рис. 1.7

Формулы для расчета w(t) и j(t). можно получить интегрированием (1.20)

j(t) = w _zt + j₀; w _z (t) = e _zt + w _{z 0}. (1.21)

Выразим скорость  произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, через угловую скорость . Пусть положение точки М относительно некоторой точки О оси вращения характеризуется радиусом-вектором r (рис. 1.10). Разделим обе части формулы (1.17) на dt. Т. к. и , то искомое выражение примет вид

, (1.22)

Модуль вектора скорости в формуле (1.22)

u = w R, (1.23)

где R – радиус окружности, по которой движется точка М.

Найдем полное ускорение  точки М. Для этого продифференцируем (1.22) по времени

Þ . (1.24)

В данном случае ось вращения неподвижна, и векторы  и параллельны. Вектор представляет собой тангенциальное ускорение . Вектор является нормальным ускорением . Модули этих ускорений равны:

a _t = e R; a_n = w² R.

Модуль полного ускорения

.

Для решения задач, в которых вращение тела является равномерным, используются также понятия периода и частоты вращения. Периодом вращения Т называют промежуток времени, в течение которого тело, вращаясь с постоянной угловой скоростью w, совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол j = 2p. Частотой вращения п называют число оборотов, совершаемых телом за 1 с при равномерном вращении с угловой скоростью w. Связь между w и Т можно получитьиз формул (1.23), положив w₀ = 0, w _z = w, t = T, j₀ = 0 и j = 2p

Þ . (1.25)

Число оборотов в единицу времени равно:

; или w = 2p n. (1.26)

Пример. Тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью u₀. Найти тангенциальное и нормальное ускорения в начале траектории (точке О), а также радиус кривизны в этой точке.

На брошенное тело действует только сила тяжести. Поэтому вектор полного ускорения равен вектору ускорения свободного падения, который разложим на две составляющих – тангенциальную и нормальную (рис. 1.11). Угол между векторами  и  равен a, т. к. направление вектора  перпендикулярно направлению вектора , а направление вектора  совпадает с направлением . Тогда модули векторов  и  равны

; .

Рис. 1.11

Радиус кривизны в начальной точке траектории О получим, переписав формулу (1.17) для модуля вектора  и выразив радиус R

Þ .