Расчет линейной и квадратичной регрессионных моделей

Подготовка данных для расчета моделей регрессии. Построение ортогональных многочленов

Для заданного множества точек { x ₁, x ₂,..., x_L } построить ортогональные многочлены Т ₁, Т ₂, Т ₃ степеней 0, 1, 2 соответственно. Многочлены рассчитать по формулам (4.12), (4.13), где W_i = n_i (i = 1, 2,..., L). Результаты расчета оформить в табличном виде (табл. 3).

Задача 2. По данным табл. 1 рассчитать ортогональные многочлены Т ₁, Т ₂, Т ₃ на множестве точек {1, 3, 5, 7, 14} с весами W_i = n_i.
Решение. В последней строке табл. 3 записаны суммы по столбцам 2, 3, 6, 7. Подставляя их в формулы (4.12) и (4.13), получаем: λ = –102/17 = – 6; Т ₂ = х – 6 = X;
υ = –302/17 = –17,76471; ­­­ ­­­ μ = –1080/302 = –3,57616; ­­­ ­­­ Т ₃ = –17,76471 – 3,57616 · X + X ².
В значениях коэффициентов υ, μ сохраняем 5 знаков после запятой.

Для контроля ортогональности полученных многочленов дополняем табл. 3 столбцами 9 – 11. В последней строке записаны суммы по этим столбцам. Для рассматриваемого примера отклонения этих сумм от нуля не превосходят величины погрешностей округления, что свидетельствует об отсутствии ошибок вычисления.

Найти оценки параметров линейной и квадратичной моделей регрессии.
Расчет оценок параметров линейной и квадратичной регрессий, расчет значений соответствующих регрессионных моделей (Y _лин, Y _кв), а также отклонений их от средних значений Y_i можно произвести в учебно-вычислительном центре МИСиС по специализированной программе REGRE, работающей в диалоговом режиме.
По запросу программы необходимо ввести число заданных точек n (число различных значений аргумента или число экспериментов), затем поочередно для каждого эксперимента следующие данные: X_i – значение фактора, т.е. кодированное значение аргумента (столбец 4 табл. 3.6); Y_i – значение отклика, т.е. среднее значение функции для i -го аргумента (столбец 8 табл. 3); W_i – вес эксперимента (столбец 2 табл. 3). После ввода данных всех экспериментов программа предоставляет возможность исправить любое ошибочно введенное число.
Затем следует ввести коэффициенты μ и υ базисного многочлена Т 3 = X ² + μ X + υ. При ошибочном вводе коэффициентов их также можно исправить.
После ввода всех данных на экране появляются результаты расчета:
– коэффициенты регрессии B 1, B 2, B 3, т.е. оценки параметров линейной и квадратичной регрессий, рассчитанные по формуле (4.11);
– H 1, H 2, H 3 – нормы многочленов Т 1, Т 2, Т 3, рассчитанные по формуле (4.16).
Пользователю предлагается следующее меню:
ВВЕДИТЕ:
1 – РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
2 – РАСЧЕТ КВАДРАТИЧНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
3 – ВЫХОД ИЗ ПРОГРАММЫ
После выбора соответствующего пункта меню на экран выводятся исходные данные расчета – столбцы X, Y, W и результаты расчета Y ЛИН и DY ЛИН для линейной модели регрессии; Y КВ и DY КВ – для квадратичной модели регрессии (пример экранной формы приведен в табл. 4):
Y ЛИН = B 1 * T 1 + B 2 * T 2 = B 1 + B 2 * X;
Y КВ = Y ЛИН + B 3 * T 3 = B 1 + B 2 * X + В3 * (X ² + μ X + υ);
DY ЛИН = Δ Y _лин = Y – Y _лин; DY KB = Δ Y _кв = Y – Y _кв.
В последних строках экранной формы приводятся взвешенные суммы квадратов отклонений (Δ Y _лин) _i ² W_i или (Δ Y _кв) _i ² W_i, а также контрольные числа – скалярные произведения отклонений Δ Y на многочлены Т ₁, Т ₂, Т ₃. Для многочленов, участвующих в расчете, эти контрольные числа должны быть равны нулям с точностью до накапливаемых погрешностей округления.

Задача 3. По данным задачи 1 найти оценки параметров линейной и квадратичной моделей регрессии.
Решение. Экранная форма результатов расчета линейной и квадратичной моделей регрессии по программе REGRE приведена в табл. 4.
В рассматриваемой задаче отклонение контрольных чисел от нуля объясняется накоплением погрешностей округления, что свидетельствует об отсутствии вычислительных ошибок. Это позволяет считать, что линейная модель регрессии описывается формулой
Y _лин = 4,81118 + 0,109603 X,
а квадратичная модель – формулой
Y _кв = 4,84118 + 0,109603 Х – 0,0963418 (Х ² – 3,57616 Х – 17,76471),
где Х = х – 6.