Проверка гипотезы об адекватности регрессионной модели

Регрессионная модель называется адекватной, если предсказанные по ней значения переменной Y согласуются с результатами эксперимента. Если модель адекватна, то отклонения результатов эксперимента от полученной функции регрессии Δ Y_i = Y_i – (x_i) являются реализациями случайных ошибок эксперимента Z_i, которые, в силу предположений (4.1), (4.9) должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевыми средними и дисперсиями, равными σ² / W_i. Проверка выполнения этих предположений осуществляются статистическими методами и лежит в основе оценки адекватности модели регрессии.
Для проверки адекватности регрессионной модели вычисляют остаточную дисперсию (так называемую дисперсию адекватности) по формуле

,

(4.17)

где Δ Y_i – отклонения средних Y_i от проверяемой модели регрессии; k ад – число степеней свободы дисперсии адекватности; n – число точек, в которых проводился эксперимент; m – число оцениваемых параметров B_j в проверяемой модели.
Если истинная функция регрессии имеет тот же вид, что и рассматриваемая модель (например, так же, как и модель, представляет собой квадратичную функцию), то дисперсия адекватности служит несмещенной оценкой истинной дисперсии эксперимента и ее можно сравнивать с другими подобными оценками. В частности, может быть проведена независимая серия измерений для получения оценки дисперсии эксперимента S ²_экс. Если в каждой точке проводилось несколько измерений, то за независимую оценку можно взять сводную оценку дисперсии S ²_св:

(4.18)

с числом степеней свободы . Здесь L число серий измерений, k_j = n_j - 1,..., n_j - число измерений в каждой серии.
Следовательно, S ²_экс оценивает дисперсию эксперимента D _экс, ­ S ²_ад характеризует степень отклонения экспериментальных точек от регрессионной модели, т.е. оценивает некую дисперсию адекватности D _ад. Проверка адекватности модели заключается в проверке гипотезы H ₀: ­ ­ D _ад = D_экс при альтернативной гипотезе H ₁: ­ ­ D _ад > D _экс (если модель неадекватна, отклонения экспериментальных точек от модели будут больше погрешностей эксперимента). Таким образом, задача сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий, которая решается с помощью критерия Фишера. Вычисляем отношение

Если при заданном уровне значимости α отношение F окажется меньше квантили F _{1- α} (k ₁, k ₂), где k ₁ = k _ад, ­ ­ k ₂ = k _экс, то рассматриваемая модель не противоречит результатам эксперимента и принимается; в противоположном случае модель отвергается с уровнем значимости α, как противоречащая результатам эксперимента.
В построенной регрессионной модели (4.4) некоторые коэффициенты могут быть незначимы, т.е. может выполняться гипотеза H ₀: ­ ­ B_j = 0. Для проверки этой гипотезы можно найти доверительный интервал для коэффициента B_j с уровнем значимости α. Если этот интервал «накрывает» значение B_j = 0, гипотеза H ₀ принимается и коэффициент B_j признается незначимым, в противоположном случае коэффициент B_j значим.