2014-02-18
2743
В случае неадекватности линейного уравнения регрессии можно построить уравнение нелинейной регрессии, например, полиномиальной регрессии второй или третьей степени. При этом аналогично изложенному ранее, методом наименьших квадратов можно найти коэффициенты для квадратичной и кубической регрессий –
; 
. (9)
В некоторых случаях можно значительно упростить процедуру построения нелинейной модели, применив линеаризацию по параметрам или по переменным модели.
Например, установлено, что в задаче слежения за целями уровень возбуждения объектов и их производительность связаны следующей квадратичной зависимостью:
.
Эта модель не линейна по переменным, но линейна по параметрам. Если сделать замену
х 1 = возбуждение; х 2 = возбуждение2 ,
то получим линейное уравнение – y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2.
Известно, что скорость роста человека с увеличением возраста изменяется по следующему экспоненциальному закону:
скорость роста = exp(-b1*возраст). (10)
Эта модель не линейна и по переменным и по параметрам, но допускает линеаризацию. Прологарифмируем это уравнение и сделаем замену ln(cкорость роста) = y, возраст = х, получим линейное уравнение у = - b 1 х.
|
|
|
В таблице приведены примеры нелинейных зависимостей и соответствующие им линеаризующие преобразования [6].
| Функция | Линеаризующие преобразования | |||
| y ’ | x ’ | b ’0 | b ’1 | |
| y | 1/x | b 0 | b 1 |
| 1/y | х | b 0 | b 1 |
| x/y | х | b 0 | b 1 |
| lny | x | lnb 0 | lnb 1 |
| 1/ у | ехр (- х) | b 0 | b 1 |
| lny | lnх | lnb 0 | b 1 |
| у | ln (х +1) | b 0 | b 1 |
| 1/у | 1/ x | b 1/ b 0 | 1/ b 0 |
