Плоские зеркала

Тела из прозрачного или непрозрачного материала с гладкой шлифованной поверхностью называют зеркалами.

Одна из наиболее простых оптических систем — плоское зеркало, способное строить стигматическое изображение точки, как угодно расположенной в пространстве перед ним.

Рис.3. Построение изображения точки плоским зеркалом

Пусть на зеркало NN₁N₂ (рис. 3) падает гомоцентрический пучок лучей с центром в точке S. Так как лучи падают на зеркало под разными углами, то после отражения они удаляются один от другого. При этом глазу кажется, что они исходят из точки S ' т. е. образуют новый гомоцентрический пучок с центром в точкеS ', расположенный на продолжении нормали SN к плоскости зеркала, причем S 'N=SN. Следовательно, S ' — стигматическое изображение точки S. Это изображение будет лишь кажущимся — мнимым — и к тому же полуобращенным, поскольку в нем направление только одного из лучей изменится на противоположное.

Рассмотрим далее зависимость между поворотами зеркала и отраженного луча.

Рис.4. Зависимость между поворотами зеркала и

отраженного луча

Пусть световой луч S (рис. 4) падает на плоское зеркало в точке А под некоторым углом i и под таким же углом отражается. Отклонение отраженного луча от первоначального направления (А А') составляет угол δ. На основании рис. 6 можно записать, что

δ = 180°–2i. (3)

Если повернуть зеркало вокруг точки А на произвольный угол φ, то нормаль N повернется на угол φ и займет положение N'A. Отраженный луч также повернется, причем его отклонение от первоначального AА' составит теперь угол δ', который, согласно уравнению (2), запишем в виде

δ' = 180°–2(i + φ), (4)

Как видно из рис. 6, разность (δ – δ') дает искомое изменение направления отраженного.луча при повороте зеркала::

δ – δ' = (180°–2i) – [180°–2(i +φ)], (5)

δ – δ' = 2φ (6)

Следовательно, при повороте зеркала на угол φ отраженный луч повернется на угол 2φ. Это свойство плоского зеркала используется в геодезическом приборостроении, например в компенсаторах наклона.

Рассмотрим отражение луча SN от двух параллельных зеркал N и N₁ (рис.5). Нормали NE и N₁А к зеркалам параллельны и поэтому углы падения и отражения луча в точках N и N₁ будут равны i_1. В результате луч N₁S₁ будет параллелен лучу NS, но окажется смещенным на величину l = NB. Если расстояние между зеркалами N и N₁ равно h = АN₁, то из треугольника NN₁А

NN₁ = h / cos i_1, (7)

а из треугольника NN₁B

l = NB = NN₁ sin 2i_1. (8)

Подставляя выражение (7) в формулу (8) получим

l =2h sin i_1. (9)

Допустим, что плоскость зеркала N₁D составляет с плоскостью,зеркала ND угол α. Луч SN, отразившись от зеркала ND, пойдетпо направлению NN₁ и составит с нормалью N₁E угол падения i_2.

После отражения от зеркала N₁D он получит направление N₁S₂ и составит с нормалью угол отражения i_2.

Из треугольника NDN₁

α = 180º - (90º- i₁) - (90º- i₂) = i_{1 +}i_2. (10)

Из треугольника NN₁C находим, что внешний угол β у точки С

β = 2(i_{1 +}i₂). (11)

Сопоставляя выражения (10) и (11), получим

β = 2α. (12)

Величина угла β зависит только от угла α и не зависит от углов i₁ и i₂. Поэтому при повороте обоих зеркал как системы угол β остается неизменным. Это свойство используется, например, в двухзеркальном эккере.