Удаление или добавление бесполезных

A B b

A B c

Таблица к задаче 2

Таблица к задаче 1

№ вар.	Вид регулярного множества
	A = { 0(2n) 1 0(n) | n >0}
	A = { 0(n) 1(m+n) 0(m) | n,m >0}
	A = { a(n) b(m) a(n-m) | n,m >0, n>m}
	A = { 1(2n) 2 0(n) | n >0}

Продолжение таблицы к задаче 1

№ вар.	Вид регулярного множества
	A = { 1(n) 0(m) 1(m+1) 0(2n) | n, m >0}
	A = {цепочка из 0 и 1, причем нулей на два больше}
	A = { 1(n) 0(m) 1(m+n)) | n, m >0}
	A = {цепочка из 0 и 1, причем нулей на два меньше}
	A = { 1(n) 0(m) 1(m-n-1) | n, m >0, m>n}
	A = {цепочка из одинакового числа 0 и 1, причем начинается с нуля }

Задача 2 Для приведенных в таблице (см. ниже) вариантов построить МП –трансляторы для преобразования множества цепочек А в множество цепочек В с полным описанием процесса построения.

№ вар.	Вид цепочек А, В
	A = { a(n+m) b(m) a(n)} Þ B = {1(m) 0(2n)}
	A = { 1(n) 0(2m) } Þ B = { 0(n+1) 1(m) 0(n)}
	A = { 1(n-1) 0(2n) } Þ B = { a(n+1) b(n-1) }
	A = { 1(n) 0(m) } Þ B = { b(n+m) a(m+2) }
	A = { a(n) b(m-n) a(n) } Þ B = { 0(n+m) 1(n) }
	A = {произвольная цепочка из 0 и 1, причем нулей на два меньше} Þ B = { b(n) a(n+2) | n – количество 0 в А }

Продолжение таблицы к задаче 2

№ вар.	Вид цепочек А, В
	A = {произвольная цепочка из 0 и 1, причем нулей на два больше} Þ B = { 0(n+m) 1(n), | n и m число 0 и 1 соответственно}
	A = {произвольная цепочка из одинакового числа 0 и 1, начинается с 0 и в голове цепочки число символов 0 >= числа символов 1} Þ B = { (ab) n | n – число одинаковых символов в А}
	A = {произвольная цепочка из одинакового числа 0 и 1, причем начинается с 1 } Þ B = {0(n) 1(n)}

6 Грамматики

6.1 Общие сведения

В расширенном представлении под термином "язык" понимают всякое средство общения, состоящее из:

– знаковой системы, т.е. множества допустимых последовательностей знаков;

– множества смыслов этой системы;

– соответствия между последовательностями знаков и смыслами, делающими осмысленными допустимые последовательности знаков.

Знаками могут быть буквы алфавита, математические обозначения, звуки, ритуальные действия и т.д. Hаука об осмысленных знаковых системах называется семиотикой. Hаиболее исследованными являются знаковые системы, у которых знаками являются символы алфавита. Правила, определяющие множество текстов (допустимых последовательностей знаков), образуют синтаксис языка; описание множества смыслов и соответствия между текстами и смыслами – семантику языка. К таким знаковым системам относятся естественные языки, языки различных областей науки, языки программирования.

Семантика языка существенно зависит от назначения языка, в то время, как для синтаксиса можно сформулировать понятия и методы, не зависящие от назначения и целей языка. Для исследования синтаксиса сложился специальный математический аппарат – теория формальных грамматик, в котором язык понимается уже не как средство общения, а как множество формальных объектов – последовательностей символов алфавита. Эти последовательности называют цепочками и язык понимают как множество цепочек.

Пусть задан алфавит V, в котором можно построить множество V* (читается – итерация алфавита V) цепочек. Формальный язык L в алфавите V – это подмножество цепочек из V* (L Ì V*). Описание формальных языков осуществляется с помощью формальных порождающих грамматик (формальных грамматик).

Формальная порождающая грамматика G (в дальнейшем – грамматика G) – это формальная система, определяемая четверкой объектов:

G[Z] = (VN, VT, Z, P),

где VN – алфавит нетерминалов (вспомогательных символов);

VT – алфавит терминалов (основных символов);

Z – начальный символ (аксиома) грамматики;

P – конечное множество правил.

Hетерминалы принято обозначать большими буквами латинского алфавита, терминалы – малыми буквами. В алфавит нетерминалов обязательно входит начальный символ грамматики.

Каждое правило из множества P имеет вид x à y, – где x, y цепочки, состоящие из терминальных и нетерминальных символов. В дальнейшем будем рассматривать грамматики, содержащие только правила, левые части которых состоят из одного нетерминального символа (контекстно–свободные грамматики). При этом должно быть хотя бы одно правило, левая часть которого – начальный символ грамматики.

Грамматика описывает бесконечный язык, если хотя бы одно из правил рекурсивно, т.е. в правой части содержится его левая часть в явном или неявном виде.

Пример: Задана грамматика G[Z]: VN = {Z,A,B}; VT = {a,b,c}; Z –начальный символ. P = { Z à ABc; (1)

A à aB; (2)

B à b }. (3)

С помощью грамматики G можно продуцировать (получать) цепочки в алфавите терминалов. Дерево вывода для одной из цепочек (abbc) имеет вид: Z

/ | \

/ | \

/ | |

/ | |

|

|

b

Порядок вывода можно записать в следующем виде:

(1) (2) (3) (3) (номера примененных правил)

Z à AВc à aBВc à aBbc à abbc.

Вывод продолжается до тех пор, пока на очередном шаге не получится цепочка, состоящая только из терминальных символов (т.е. нельзя применить ни одно из правил вывода).

Сокращенно вывод можно записать, пропустив промежуточные результаты, так Z⁺ à abbc (цепочка abbc выводима из начального символа Z в заданной грамматике).

Сентенциальная форма – любая цепочка терминальных и нетерминальных символов, которая получается на любом шаге процесса вывода. Множество сентенциальных форм можно получить из дерева вывода, обходя его по узлам и соблюдая следующие правила:

– начинать обход с самого левого узла;

– обход надо совершать так, чтобы при переходе к следующему узлу образованное поддерево не включало, как элемент, предыдущее поддерево.

Фраза – часть сентенциальной формы, выводимая из одного нетерминала за несколько шагов. Для простой фразы шаг вывода равен 1.

Одну и ту же цепочку можно получить, применяя правила в различных последовательностях (деревья выводов различны). Если для однозначности в процессе вывода на каждом шаге применять правило к самому левому(правому) нетерминалу в сентенциальной форме, то получим левосторонний(правосторонний) вывод. Таким образом:

1 Каждой цепочке выводимой в заданной грамматике соответствует одно или несколько деревьев вывода.

2 Каждому дереву соответствует один или больше выводов.

3 Каждому дереву соответствует единственный правый и единственный левый выводы.

4 Если каждой цепочке, выводимой в данной грамматике, соответствует единственное дерево вывода, то такая грамматика называется однозначной (в правой части каждого правила такой грамматики содержится не более одного нетерминала).

Языком L(G), порождаемым грамматикой G, называется множество всех цепочек в алфавите терминальных символов VT, выводимых из начального символа грамматики.

В процессе функционирования грамматики возможны два варианта:

1 Проверять цепочки на принадлежность их к языку, порождаемому заданной грамматикой. Варианты этого процесса могут быть следующими:

а) вывод цепочки из начального символа грамматики (построить дерево вывода или вывод начиная с корня) – нисходящий вывод;

б) вывод можно также делать начиная с кроны дерева (готового предложения); если удается прийти к начальному символу, то предложение принадлежит заданной грамматике – восходящий вывод.

В обоих вариантах строится дерево вывода.

2 Получать цепочки, которые принадлежат к языку, порождаемому заданной грамматикой.

6.2 Классификация грамматик

Общепринятой классификацией грамматик и порождаемых ими языков является иерархия Хомского, содержащая четыре типа грамматик (см. рис. на следующей странице):

Каждый тип грамматик включает грамматики более высоких типов, как частные случаи.

Для построения распознавателей грамматик, других целей очень часто необходимо преобразовать правила исходной грамматики к соответствующему виду. При этих преобразованиях язык, порождаемый исходной и полученными после преобразования грамматиками не должен меняться.

Две грамматики эквивалентны если они порождают один и тот же язык (одни и те же цепочки терминальных символов).

Рассмотрим ряд процедур, которые всегда приводят к эквивалентным преобразованиям.

6.3 Эквивалентные преобразования грамматик

Для построения распознавателей грамматик, других целей часто необходимо преобразовывать правила исходной грамматики к соответствующему виду. При этом язык, порождаемый исходной и полученными после преобразования грамматиками, не должен меняться.

Две грамматики эквивалентны, если они порождают один и тот же язык(одни и те же цепочки терминальных символов).Рассмотрим ряд процедур, которые всегда приводят к эквивалентным преобразованиям.

(непродуктивных и недостижимых) нетерминалов

В множестве Р правил грамматики G непродуктивным называют нетерминал, из которого нельзя получить цепочку терминалов. Для поиска в множестве правил непродуктивных нетерминалов используется следующее свойство.

Свойство А: Если все символы правой части правила продуктивны, то продуктивен и символ, стоящий в его левой части.

Алгоритм поиска непродуктивных нетерминалов в множестве правил P грамматики G:

– составить список нетерминалов для которых найдется хотя бы одно правило, правая часть которого состоит только из терминалов;

– если найдется такое правило, что все нетерминалы, стоящие

в его правой части уже занесены в список, то добавить в список нетерминал стоящий в его левой части;

– если на предыдущем шаге список не пополняется, то получен исчерпывающий список всех продуктивных нетерминалов.

Hетерминалы грамматики не попавшие в список, построенный по приведенному выше алгоритму, являются непродуктивными и, не нарушая эквивалентности, из множества правил Р можно удалить все правила, содержащие такие нетерминалы.

В множестве правил грамматики недостижимым называют нетерминал, который не участвует в процессе вывода. цепочек. Для поиска недостижимых нетерминалов используется следующее свойство.

Свойство Б Если нетерминал в левой части правила является достижимым, то достижимы все нетерминалы, стоящие в правой части этого правила.

Алгоритм поиска недостижимых нетерминалов в множестве правил P грамматики G:

– образовать одноэлементный список из начального нетерминала грамматики;

– если в множестве Р найдено правило, левая часть которого уже в списке, то включить в список все нетерминалы из его правой части;

– если на предыдущем шаге список не пополняется, то получен исчерпывающий список всех достижимых нетерминалов.

Hетерминалы грамматики не попавшие в список, построенный по приведенному выше алгоритму, являются недостижимыми и, не нарушая эквивалентности, из множества правил Р можно удалить все правила, содержащие такие нетерминалы.

Не нарушая эквивалентности, можно также исключить правила такого вида:

A à A или A à B, B à C, C à A (циклический блок правил).

Пример: Задана грамматика G[S]: VN = {S, A, B, C, D};

VT = {a, b, c, d}; P = {S à aS (1), S à aA (2), A à bB (3),

A à bC (4), B à d (5) D à c (6) }.

Упростить заданную грамматику.