Теоретико-множественные операции

Как было сказано ранее, теоретико-множественные операции – это традиционные операции над множествами, определяемые теорией множеств; к ним относятся:

- объединение

- вычитание

- пересечение

- прямое (декартово) произведение

Но следует отметить, что реляционные операции имеют существенное отличие от классических, определенных в теории множеств.

Рассмотрим это отличие на примере операции объединения.

Операция объединения в теории множеств определяется следующим образом:

Определение

Даны два множества – S₁ и S₂. Объединением этих множеств является множество S, элементы которого принадлежат первому множеству S₁ и/или второму множеству S₂:

S = S₁ È S₂ = {s | s Î S₁ и/или s Î S₂}

Графически это можно представить так:

В РМД рассматривается объединение множеств – доменов и/или отношений.

1. Объединение доменов.

В РМД домен представляет собой множество элементов одного типа. Объединение доменов в РМД должно создать новый домен.

Пусть даны следующие домены:

D₁ = {1, 3, 5, 7, 9}, D₂ = {‘a’, ‘b’, ‘c’}, D₃ = {2, 4, 6, 8}.

Тогда в теории множеств определено новое множество:

S = D₁ È D₂ = {1, 3, 5, 7, 9, ‘a’, ‘b’, ‘c’}

Но в РМД полученное множество не является доменом, так как содержит элементы разных типов. Следовательно, данная операция в РМД для указанных операндов не определена.

С другой стороны, новое множество:

D = D₁ È D₃ = {1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8}

содержит элементы одного типа, т.е. является доменом. Следовательно, в данном случае, для данных операндов операция объединения определена.

2. Объединение отношений.

В РМД отношение представляет собой множество кортежей, удовлетворяющих одной схеме. Объединение отношений должно дать в результате также отношение.

Пусть определены следующие схемы отношений, определенные на приведенных выше доменах:

R₁(A₁:D₁, A₂:D₁), R₂(A₁:D₁, A₂:D₂), R₃(A₁:D₁, A₂:D₃).

Реализации данных отношений могут иметь следующий вид:

r₁ = {<1, 3>, <1, 1>}, r₂ = {<1, ‘a’>, <2, ‘b’>}, r₃ = {<1, 2>, <7, 2>}.

Тогда вы теории множеств определено новое множество:

r = r₁ È r₂ = {<1, 3>, <1, 1>, <1, ‘a’>, <2, ‘b’>}

Но в РМБ полученное множество не является отношением, так как кортежи этого множества соответствуют разным схемам отношений. С другой стороны, множество

r = r₁ È r₃ = {<1, 3>, <1, 1>, <1, 2>, <7, 2>}

является отношением, хотя схемы отношений R₁ и R₃ и разные.

В связи с этим в реляционной алгебре рассматривается свойство совместимости по объединению.

Определение

Простые домены считаются совместимыми по объединению, если они состоят из элементов одного типа.

Для приведенных выше примеров домены D₁ и D₂ не совместимы по объединению, а D₁ и D₃ – совместимы по объединению.

Определение

Два отношения считаются совместимыми по объединению, если

- оба отношения имеют одно и то же множество атрибутов,

- одноименные атрибуты двух отношений определены на совместимых по объединению доменах.

Так, в приведенных выше примерах отношения R₁ и R₃ совместимы по объединению, так как их одноименные атрибуты определены на совместимых по объединению доменах.

Если нужно проверить совместимость по объединению отношений, имеющих разные множества атрибутов, тогда в соответствии с семантикой атрибутов можно переименовать их, используя операцию переименования. После этого полученные отношения проверяются на совместимость по объединению. Например, если дано еще одно отношение R₄(B₁:D₁, B₂:D₃) и надо проверить, совместимо ли по объединению данное отношение с отношением R₁, то, используя операцию переименования:

R₄: переименовать B₁ в A₁, B₂ в A₂

можно получить отношение R₄(A₁:D₁, A₂:D₃), после чего проверить отношения R₁ и R₄ на совместимость по объединению. С таким же успехом можно использовать операцию переименования

R₁: переименовать A₁ в B₁, A₂ в B₂.

Рассмотрим теперь все операции реляционной алгебры. В определении операций и примерах строчными буквами обозначены реализации отношений, прописными – схемы отношений; запись вида r(R) означает: реализация отношения r, удовлетворяющая схеме R.