Развитие теории колебаний континуальных систем

Задачи на колебания континуальных систем, т.е. систем, массы которых считаются распределенными непрерывно близки к задачам сопротивления материалов и теории упругости. Поэтому теория колебаний континуальных систем развивалась вслед за этими дисциплинами. В отличие от дискретных механических систем, континуальные описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. При этом рассматривается однородный изотропный материал, подчиняющийся закону Гука.

Из всех задач колебаний континуальных систем наибольшее практическое значение имела задача о поперечных колебаниях валов и балок. Простейшие случаи колебаний призматических стержней были исследованы еще в XVIII веке в трудах по акустике. Но до решения задач, имеющих практическое значение – задач для балок переменного поперечного сечения, особенно определение высших частот, было еще далеко, понадобились еще две сотни лет и разработка приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Дело осложнялось тем, что тогда еще не было сформулировано понятие сплошной среды, да и более простая задача о статическом изгибе балок полностью не была решена.

Первым поперечные колебания балок (стержней) постоянного поперечного сечения рассмотрел Даниил Бернулли. Он использовал для вывода уравнений упругих кривых вариационное исчисление. В 1778 г. Эйлер полностью решил задачу о колебаниях призматических стержней при различных граничных условиях.

Эйлер также изучал колебания однородной мембраны. Рассматривая ее как пластинку, Эйлер исходил из несоответствующих характеру задачи предпосылок и не получил удовлетворительного результата. В 1766 г. Эйлер попытался вывести дифференциальные уравнения колебаний колокола, но допустил ошибку, считая, что кольца и пластины на которые он разбил колокол, колеблются независимо друг от друга.

Лагранж дал более точное уравнение малых колебаний мембраны под действием силы тяжести.

Уравнение колебаний пластинки также получено Лагранжем. Интерес к проблеме колебаний пластин пробудился после эффектных экспериментов, проведенных Хладни. Он покрывал пластинку слоем сухого мелкозернистого песка, после чего возбуждал в ней колебания обыкновенным смычком и получал узловые линии, соответствующим различным частотам колебаний. В 1809 г. Парижская АН пригласила экспериментатора показать свои опыты в присутствии императора Наполеона, на которого демонстрация произвела сильное впечатление, и Хладни получил денежную награду в 3 000 франков, а Парижская АН объявила конкурс на создание математической теории, подтверждающей эти опыты.

В конкурсе приняла участие Софи Жермен, которая была знакома с работой Эйлера и решила также воспользоваться вариационным исчислением, но при вычислении вариации интеграла она допустила серьезную ошибку и правильного решения не получила. Однако труд С. Жермен не отвергли, а продлили срок конкурса, дав возможность закончить работу. Вот что она сама пишет по этому поводу: «К счастью, один из членов жюри, Лагранж, оценил исходные предположения и вывел уравнение, которое я должна была бы получить, если бы не погрешила против правил вычисления».

Что касается конкурса, то и вторая попытка С. Жермен была неудачной, так как начальное допущение (1.23) не было физически обосновано. И только с третьей попытки, в 1816 г. премия, наконец, была получена.

Кроме двумерных уравнений, Лагранжем было выведено уравнение для распространения колебаний (волн) и в трехмерной однородной неограниченно протяженной во всех направлениях среде

Однако решения конкретных задач в XVIII в. были получены только в одномерных задачах. Для более сложных задач не хватало знаний в области сопротивления материалов. Тем не менее, успехи физической теории имели глобальное значение.

- Было осознано значение ограничения малости колебаний для линейной постановки задач;

- введен принцип суперпозиции решений;

- вошли в научный обиход понятия частоты, периода и амплитуды колебаний;

- в задаче о колебаниях струны в математической форме была установлена связь между колебаниями и волнами.

Обстоятельные исследования колебаний различных стержней были начаты Дени Пуассоном и продолжались в течение всего XIX века. В 1833 г. во втором издании двухтомного «Трактата по механике» он рассматривает изгиб и поперечные колебания балок, применяя уравнения (1.21) и демонстрирует преимущество этого уравнения перед обычно используемым в технике уравнением (1.20).

Колебаниям упругих тел в XIX в. были посвящены многочисленные исследования. Интегралы уравнений колебания упругого пространства были получены Д. Пуассоном и М. В. Остроградским в конце 20-х гг. Тогда же Пуассон обнаружил существование двух волн, распространяющихся в изотропном упругом теле, со скоростями, относящимися как . Дж. Г. Стокс показал, что более быстрая волна – это продольная волна объемного сжатия, а медленная – поперечная волна вихря смещений, не вызывающая изменения плотности.

Задача колебаний круговой пластины была решена Г. Р. Кирхгофом. Он также вычислил частоты некоторых видов колебаний для пластинки со свободным контуром. Продольные и крутильные колебания стержней были впервые исследованы Хладни. В «Теории звука» Релей предлагает свой, более полный вывод уравнения продольных колебаний стержня, аналогичного уравнению колебаний струны постоянной плотности:

В «Теории звука» Рэлей приводит полное решение задачи о свободных колебаниях стержня с обоими свободными концами:

Рэлей также рассматривает случаи стержней с одним закрепленным концом (как случай стержня со свободными концами, но двойной длины), случай двух закрепленных концов и случай точечной нагрузки. С. П. Тимошенко рассматривает вынужденные продольные колебания стержня, в 1909 г. в Известиях Киевского политехнического института вышла его работа, посвященная этому вопросу.

Аналитическое исследование некоторых частных случаев колебаний стержней переменного поперечного сечения впервые проведены Кирхгоффом. Рассматривая вибрации клинообразного стержня, он путем остроумного преобразования заменяет уравнение четвертого порядка двумя уравнениями второго порядка и интегрирует их с помощью степенных рядов. Дж. Морроу в работе «О поперечных колебаниях брусьев» решает эту же задачу с помощью метода Pэлея. При этом он предполагает, что стержень искривляется по параболе второго порядка. Наконец в 1913 г. П. Ф. Вард опубликовал работу в которой рассмотрел поперечные колебания стержня переменного сечения.

Таким образом, в течении XVII–XIX вв. были разработаны аналитические методы расчетов в основном свободных колебаний различных твердых тел геометрически правильной формы. При этом теоретические результаты были проверены соответствующими экспери­ментами. Этим методика составления и решения дифференциальных уравнений получила подтверждение. Как будет показано ниже, эти результаты имели большое значение и при решении задач для тел более сложной формы.

В 1915 г. Екатеринославским горным институтом была издана «Теория вибраций» А. Н. Динника. В ней даны решения многих задач вибраций струн, стержней, пластин и объемных тел. Так, например, исследованы задачи о продольных и поперечных колебаниях стержней переменного сечения: клина, конуса, усеченного конуса и др. Рассмотрены колебания кругового цилиндра, как сплошного, так и полого, крутильные колебания диска.

Теория упругости стала основой для исследования колебаний континуальных систем. Мы не будем здесь более останавливаться на отдельных исследованиях по теории упругих колебаний, которые можно найти практически у всех авторов XIX в., занимавшихся теорией упругости. Отметим только, что история исследований упругих колебаний струн, стержней, мембран, пластинок и оболочек достаточно подробно представлена в монографии Рэлея «Теория звука», первый том которой целиком посвящен колебаниям упругих систем. Эта книга оказала существенное влияние не только на развитие теории колебаний, но и на всю прикладную теорию упругости. Идея определения частот колебаний упругих систем без решения соответствующих дифференциальных уравнений, заложенная в ней, определила дальнейшее развитие механики деформируемого твердого тела.