Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала

Глава 4 Динамика вращательного движения твердого тела

Пусть О – какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы или вектора импульса. Ее называют началом или полюсом. Обозначим буквой r радиус – вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы F (рис. 4.1). Моментом силы F относительно точки О называется векторное произведение радиус – вектора r на силу F:

M = [ rF ]. (4.1)

Рис. 4.1

Аналогично определяется момент импульса р материальной точки относительно полюса О. Так называется векторное произведение

L = [ rp ]. (4.2)

Целесообразность введения этих двух понятий оправдывается тем, что моменты импульса и силы связаны между собой важным соотношением, которое мы сейчас выведем из уравнений Ньютона. Предположим сначала, что начало О неподвижно. Дифференцируя выражение (4.2) по времени, получим

.

Так как по предположению начало О неподвижно, то производная r есть скорость материальной точки, связанная с ее импульсом соотношением р = m V. Поэтому первое слагаемое равно нулю как векторное произведение коллинеарных векторов и р = m V. Второе слагаемое можно преобразовать с помощью уравнения Ньютона . Тогда получится , или

(4.3)

Это соотношение называется уравнением моментов: производная по времени момента импульса материальной точки относительно неподвижного начала равна моменту действующей силы относительно того же начала.

Уравнение моментов (4.3) можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторого начала называется векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек системы относительно того же начала. Аналогично момент всех сил, действующих на систему материальных точек, определяется как векторная сумма моментов отдельных сил.

Предполагая начало неподвижным, напишем уравнения моментов для каждой материальной точки, а затем векторно сложим их. Тогда мы снова придем к соотношению (4.3), но уже для системы материальных точек. Как ясно из вывода, под М следует понимать момент всех сил, как внешних, так и внутренних. Однако внутренние силы можно не принимать во внимание, так как их полный момент относительно любого начала равен нулю. Это объясняется тем, что внутренние силы всегда входят попарно: силе F_ik, с которой k -я точка действует на i -ю, соответствует равная и противоположно направленная сила F_ki, с которой i -я точка действует на k -ю. Эти две силы направлены вдоль одной прямой. При вычислении моментов точки их приложения можно перенести в одну и ту же точку на этой прямой. Тогда силы взаимно уничтожаются, а их полный момент будет равен нулю.

Таким образом, третий закон Ньютона позволяет исключить из уравнения (4.3) внутренние силы. Вместо уравнения (4.3) получается более сильный результат:

, (4.4)

т. е. производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала.

Если момент внешних сил относительно неподвижного начала О равен нулю, то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для изолированной системы материальных точек.

Важным является случай центральных сил, когда направления всех сил, действующих на материальные точки системы, проходят через неподвижный центр О. Момент таких сил относительно точки О равен нулю. Поэтому момент импульса системы относительно точки О должен сохраняться, т. е. оставаться постоянным во времени.