double arrow

Теорема Штейнера



Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Ради краткости будем называть эти самые оси также осями О и А. Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиусы – векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим rи r¢, соответственно.

Рис. 4.3

На рис. 4.3 изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка. Тогда r¢ = r – a,aозначает радиус-вектор . Следовательно, r¢2 = r2 + a2 – 2(ar). Учитывая, что для твердого тела момент инерции определяется через интеграл , получим

Интеграл слева есть момент инерции IA тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде , где RC – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, RC есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,

IA = IO + ma2 – 2m(aRC). (4.12)

Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда RC = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид




. (4.13)

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Штейнера.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma2, где а – расстояние между осями.



Сейчас читают про: