Теорема Штейнера

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Ради краткости будем называть эти самые оси также осями О и А. Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиусы – векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим r и r ¢, соответственно.

Рис. 4.3

На рис. 4.3 изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка. Тогда r ¢ = r – a, a означает радиус-вектор . Следовательно, r ¢² = r ² + a ² – 2(ar). Учитывая, что для твердого тела момент инерции определяется через интеграл , получим

Интеграл слева есть момент инерции I_A тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде , где R _C – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, R _C есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,

I_A = I_O + ma ² – 2 m (aR _C). (4.12)

Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда R_C = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид

. (4.13)

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Штейнера.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma ², где а – расстояние между осями.