Кинематика гармонического колебательного движения

Общие сведения о колебаниях

Глава 6 Колебательное движение

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т. п.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания:

– механические;

– электромагнитные;

– электромеханические и т. д.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают:

– свободные (или собственные);

– вынужденные;

– автоколебания;

– параметрические колебания.

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник).

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой — система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити маятника.

Простейшими являются гармонические колебания, т. е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Важнейшим среди колебательных движений является так называемое простое или гармоническое колебательное движение.

Рис. 6.1

Характер такого движения лучше всего раскрывается с помощью следующей кинематической модели. Допустим, что геометрическая точка M равномерно вращается по окружности радиуса a с постоянной угловой скоростью (рис. 6.1). Ее проекция N на диаметр, например на ось X, будет совершать колебательное движение от крайнего положения до другого крайнего положения и обратно. Такое колебание точки N называют простым или гармоническим колебанием.

Чтобы его описать, надо найти координату x точки N как функцию времени t. Допустим, что в начальный момент времени радиус OM образовал с осью X угол . Спустя время t этот угол получит приращение и сделается равным . Из рис. 6.1. видно, что

. (6.1)

Это формула и описывает аналитически гармоническое колебательное движение точки N вдоль диаметра .

Величина a дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Она называется амплитудой колебания. Величина ₀ называется циклической частотой. Величину называют фазой колебания, а ее значение при , т. е. величину – начальной фазой. По истечении времени

(6.2)

фаза получает приращение , а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение с сохранением начального направления движения. Время T называется периодом колебания.

Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (6.1) по времени. Это дает

. (6.3)

Дифференцируя вторично, получаем ускорение

, (6.4)

или, используя (6.1),

. (6.5)

Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна

. (6.6)

Она пропорциональна отклонению x и имеет противоположное направление. Она всегда направлена к положению равновесия.

Рассмотрим гармонические колебания груза на пружине, один конец которой закреплен, а к другому подвешено тело массы m (рис. 6.2). Пусть – длина не деформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины l, то возникает сила F, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях справедлив закон Гука – сила пропорциональна растяжению пружины: . В этих условиях уравнение движения тела имеет вид

. (6.7)

Постоянная k называется коэффициентом упругости или жесткости пружины. Знак минус означает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению x, т. е. к положению равновесия.

При выводе уравнения (6.7) предполагалось, что никакие другие силы на тело не действуют. Покажем, что тому же уравнению подчиняется движение тела, подвешенного на пружине в однородном поле тяжести. Обозначим в этом случае буквой X удлинение пружины, т. е. разность . Пружина тянет груз вверх с силой , сила тяжести – вниз. Уравнение движения имеет вид

Рис. 6.2

Пусть означает удлинение пружины в положении равновесия. Тогда . Исключая вес , получим . Ведем обозначение , тогда уравнение движения примет прежний вид (6.7). Величина x по-прежнему означает смещение груза из положения равновесия. Однако положение равновесия смещается под действием силы тяжести. Кроме того, при наличии тяжести меняется смысл величины . Теперь она означает равнодействующую сил натяжения пружины и веса груза. Но все это не затрагивает математическую сторону процесса. Поэтому можно рассуждать так, как если бы силы тяжести совсем не было. Так мы и поступим.

Результирующая сила имеет такой же вид, что и сила в выражении (6.6). Если положить , то уравнение (6.7) перейдет в

. (6.8)

Это уравнение совпадает с уравнением (6.5). Функция (6.1) является решением такого уравнения при любых значениях постоянных a и a. Это есть общее решение. Из изложенного следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой

(6.9)

и периодом

. (6.10)

Колебания, описываемые уравнением (6.8) являются свободными (или собственными).

Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями

. (6.11)

Каждая из них меняется во времени. Однако их сумма E во времени должна оставаться постоянной:

(6.12)

Если воспользоваться выражением (6.1), то из формул (6.11) найдем

,

или в силу соотношения (6.9)

.

Эти формулы можно также записать в виде

.

Они показывают, что кинетическая и потенциальная энергии в отдельности не остаются постоянными, а совершают гармонические колебания вокруг общего среднего значения с удвоенной круговой частотой . Когда кинетическая энергия проходит через максимум, потенциальная обращается в нуль и обратно. Однако полная энергия остается постоянной и связана с амплитудой a соотношением

. (6.13)

Все изложенное здесь применимо к гармоническим колебаниям любых механических систем с одной степенью свободы. Мгновенное положение механической системы с одной степенью свободы может быть определено с помощью какой-либо одной величины q, называемой обобщенной координатой, например, угла поворота, смещения вдоль некоторой линии и пр. Производная обобщенной координаты по времени называется обобщенной скоростью. При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы за исходное удобнее брать не уравнение движения Ньютона, а уравнение энергии. Допустим, что механическая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии выражаются формулами вида

, (6.14)

где d и b – положительные постоянные (параметры системы). Тогда закон сохранения энергии приводит к уравнению

. (6.15)

Оно отличается от уравнения (6.12) только обозначениями, что при математическом рассмотрении не имеет значения. Из математической тождественности уравнений (6.12) и (6.15) следует, что и общие решения их одинаковы. Поэтому, если уравнение энергии приводится к виду (6.15), то

, (6.16)

т. е. обобщенная координата q совершает гармоническое колебание с круговой частотой

. (6.17)