Real numbers

Вариант 18.

Вариант 17.

Вариант 16.

Вариант 15.

Вариант 14.

Вариант 13.

Вариант 12.

Вариант 11.

Вариант 10.

Вариант 9.

Вариант 8.

Вариант 7.

Вариант 6.

Вариант 5.

Вариант 4.

Вариант 3.

Вариант 2.

Вариант 1.

Варианты контрольных работ

1. x ⁶ – 9 x ³ + 8 > 0; 2. | x – 6 | > x ² – 5 x + 91; 3. ;

4. log_{2 x} (x ² – 5 x + 6) < 1; 5. 25sin² x + 100cos x = 89; 6. 4cos x = ctg x + 1.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. sin5 x = cos4 x; 6. .

1. | 2 x ² – 9 x + 15 | ³ 20; 2. ; 3. x ²×3 x – 3 ^{x + 1} £ 0;

4. ; 5. 3cos² x = sin² x + sin2 x; 6. cos2x = .

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. sin²2 x + sin² x = ; 6. 37tg3 x = 11tg x.

1. ; 2. ; 3. .

4. ; 5. ; 6. tg x – tg2 x = sin x.

1. ; 2. x ²(x ⁴ + 36) – 6(x ⁴ + 4) < 0; 3. log_p(x + 27) – log_p(16 – 2 x) < log_p x;

4. ; 5. sin3 x + sin x = 4sin³ x; 6. sin⁶ x + cos⁶ x = .

1. (x + 1)(3 – x)(x – 2)² > 0; 2. (x ² + 4 x + 10)² – 7(x ² + 4 x +11) + 7 < 0; 3. log₃£ 1.

4. log₃(log₂(2 –log₄ x) – 1) < 1; 5. sin²3 x = 3cos²3 x; 6. ctg x – tg x = sin x + cos x.

1. ; 2. 216 x ⁶ + 19 x ³ < 1; 3. log_1/3< 1.

4. ; 5. cos x – cos3 x = sin 2 x; 6. 2(1 + sin2 x)= tg.

1. ; 2. | x ² – 5 x | < 6; 3. .

4. ; 5. cos x – cos3 x = sin 2 x; 6. tg(x ² – x)×ctg2 = 1.

1. ; 2. –9 < x ⁴ – 10 x ² < 56; 3. ;

4. log_1/2log₂log _{x – 1}9 > 0; 5. cos2 x = 1 – sin 2x; 6. ctg x (1 – ) = 1.

1. ; 2. ; 3. 2log₈(x – 2) – log₈(x – 3) > ;

4. ; 5. cos2 x + 3sin x = 2; 6. tg(t ² – t)×ctg2 = 1.

1. ; 2. ; 3. 25 ^x < 6×5 ^x – 5;

4. log_0,3log₆< 0; 5. tg²3 x – 2sin²3 x = 0; 6. sin2 z – sin6 z + 2 = 0.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. 6ctg² x – 2cos² x = 3; 6. cos^–4 z = 64cos²2 z.

1. ; 2. ; 3. ;

4. log_1/5 x + log₄ x > 1; 5. sin³ z ×cos z – sin z cos³ z = ; 6. cos z + sin z = .

1. a ⁴ + a ³ – a – 1 < 0; 2. ; 3. log₂(1 + log_1/9 x – log₉ x) < 1;

4. ; 5. sin6 x + 2 = cos4 x; 6. cos3 x + cos= 2.

1. m ³ + m ² – m – 1 > 0; 2. ; 3. ;

4. 2log_0,5(x + 3) < log_0,25(x + 15); 5. cos9 x – 2cos6 x = 2; 6. tg– tg= 2sin x.

1. ; 2. ; 3. ;

4. log _x > 0; 5. 3ctg t – 3tg t + 4sin2 t = 0; 6. ctg⁴ x = cos²2 x – 1.

1. ; 2. ; 3. ;

4. log _x ; 5. tg3 t +tg t = 2sin4 t; 6. tg⁴(x + 1)ctg(2 x + 3) = 1.

Дополнение 1

Вещественные числа

Дійсні числ а

Необходимость расширения поля рациональных чисел

Necessity in Extension of Rational Number Field

Необхідність розширення поля раціональних чисел.

Уравнение х ²=2 не разрешимо в рациональных числах, т.е. не существует рационального числа, удовлетворяющего этому уравнению; не может быть рациональным числом.

Можно было бы рассматривать более общее уравнение, скажем, вида х ^m= n, где натуральное m 2, а n есть ненулевое целое число, которое не есть m-я степень какого-либо целого числа (n Z, n ¹0, Ø$ k Z n = k ^m). В этом и каком-либо другом подобном обобщении рассматриваемого уравнения х ²=2 здесь нет нужды, поскольку проводимое рассмотрение имеет иллюстрированный характер.

3 От противного. Пусть решение х есть рациональное число m / n, где m Z, n N и дробь m/ n несократима, т.е. m и n не имеют общих множителей. m ¹0, т.к. 0 очевидно,не есть решение. Тогда

(m / n)²=2Þ m ²=2 n ²Þ m =2 p Þ(2 p)²=2 n ²Þ n ²=2 p ²Þ n =2 q Þ дробь m / n сократима – противоречие со сделанным предположением о рациональности х и не ограничивающем общность выбором представления этого рационального числа в виде несократимой дроби8

Существуют несоизмеримые отрезки, т.е. отрезки, длина которых при фиксированной единице длины (масштабе) не выражается рациональным числом.

3Например, это гипотенуза

равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным

c

катетом. По теореме Пифагора квадрат гипотезы

такого треугольника равен с ²=1²+1²=2, а потому,

по доказанному выше, с не может быть рациональным числом8

Заметим, что несоизмеримость любого данного отрезка зависит от выбора единицы длины: для одного выбора отрезок несоизмерим, а для другого может быть соизмеримым (иметь длину выражающуюся рациональным числом). Чтобы говорить о длине произвольных отрезков при любом выборе единицы длины необходим выход за рамки множества рациональных чисел.