Правила дифференцирования

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Тема 4.

Тема 5.

(формула Тейлора для многочлена)

(для функции)

Тема 6.

Пусть дана функция. U=f(x,y,z) определенная и дифференцируема в некоторой области Д.

Градиентом функции наз вектор, проекции которого на оси координат равны соответствующим частным производным.

grad U=(∂U/∂х)i+(∂U/∂у)j+(∂U/∂z)k

Свойства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении, совпадающем с градиентом.

2. Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.

3. Градиент ⊥ линиям уровня.

Под производной функции u = f (x, y, z) в данном направлении понимается выражение = cosa + cosb + c osg, где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора.

Условный экстремум, относительный экстремум, экстремум функции f (x1,..., xn + m) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

jk (x1,..., xn + m) = 0, 1£ k £ m (*)

Точнее, функция f имеет Условный экстремум в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае Условный экстремум функции f (x, у) при условии j(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f (x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую j(х, у) = 0. В точке Условный экстремум линия j(х, у) = 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня функции f (x, у). Задачи на Условный экстремум возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Тема 6.

10.4. Простейшие правила интегрирования.

1. ();

2.;

3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если, то.(Док-во: если, то). Пример:.

Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если, то

10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле

(интегрирование подстановкой).

Пусть. Тогда. Здесь t (x) - дифференцируемая монотонная функция.

10.6. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u (x) и v (x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d (uv) = u∙dv + v∙du. Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом):

.

Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных ():

.

Интегралы вида () приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене:

. Смысл этих преобразований: слагаемое в числителе превращаем в производную получившегося знаменателя; второе слагаемое в числителе от не зависит. Теперь относительно переменной интеграл свёлся к, где,. Первый интеграл, второй - один из табличных интегралов 14, 15

. Интегралы вида () с помощью той же операции (выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов 18,19 (в зависимости от знака).

Тема 7.

11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке задана функция. Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками; длину -го отрезка обозначим:; максимальную из длин отрезков обозначим. На каждом из отрезков выберем произвольную точку и составим сумму.

Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при, не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек, то функция называется интегрируемой по отрезку, а этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается

.

Функция, как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа и - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так:.

В этом определении предполагается, что. Для других случаев примем, тоже по определению:

Если, то; если, то.

11.1.3. Теорема существования определённого интеграла. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема по этому отрезку.

1. Линейность. Если функции, интегрируемы по отрезку, то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация, и

.

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек. Перейдем в этом равенстве к пределу при. Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

2. Аддитивность. Если интегрируема по отрезку и точка принадлежит этому отрезку, то.

Теорема 1. Если f (x) монотонна и ограничена на [a,b],то она интегрируема на этом отрезке.

11.3.1. Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой, а буквой обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что - переменная, в результате интеграл будет функцией своего верхнего предела:. Легко доказать, что если интегрируема, то непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция непрерывна в окрестности точки, то в этой точке функция дифференцируема, и.

Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если непрерывна на отрезке, и - некоторая первообразная функции, то.

Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной. Так как - тоже первообразная, то. Положим в этом равенстве. Так как, то. В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению, верхний предел обозначим. Окончательно,.

Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от до "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:.

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница:.

Приложения:

1. Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром

радиуса:. Если окружность проходит через начало координат, то, и уравнение принимает вид.

13.2. Площадь плоской области.

13.2.1. Декартовы координаты. В пункте 11.1.4. мы сформулировали Геометрический смысл определённого интеграла: если на отрезке, то равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком, слева и справа - прямыми и, сверху - функцией. Следствие: если фигура ограничена сверху кривой, снизу - кривой, слева и справа - отрезками прямых и, то её площадь равна.

Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части.

13.3. Вычисление длин кривых.

Mi

Mi -1

A=M 0

x

y

M 1

B=Mn

xi -1

xi

a

b

13.3.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая. Разобьём эту кривую точками на частей и впишем в кривую ломаную, соединяющую эти точки. Длина этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения:

. Устремим теперь количество точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных, не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой.

13.3.2. Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая - график функции, имеющей непрерывную производную,. Тогда точка имеет координаты, звено имеет длину. Функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что. С учётом этого длина звена равна, длина всей ломаной -. Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла, и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при. Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением,, определяется формулой.

Пример: Найти длину отрезка параболы от точки до точки.

Решение:, поэтому

.

13.3.3. Кривая задана параметрически. Заменим в переменную на переменную. Так как, то. Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой.

Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.

Решение: кривая задаётся уравнениями

.

13.3.4. Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением,, легко сводится к предыдущему. Так как, то, рассматривая полярный угол как параметр, получим, поэтому

.

Пример: найти длину кардиоиды.

Решение:, поэтому. Ответ явно бессмысленен. Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня из. Правильное решение:

xn-1

xi-1

x

y

a=x 0

b=xn

x 1

xi

z

Однако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви и удвоить её:

13.4. Объёмы тел вращения.

13.4.1. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело расположено в пространстве между плоскостями и, и для известна площадь его поперечного сечения. Требуется определить объём этого тела.

Рассечём это тело плоскостями на слоёв (), на каждом из отрезков возьмём произвольную точку; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями и приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой:. Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму, поэтому.

x

y

z

a

b

x

f(x)

13.4.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём получается в результате вращения кривой,, вокруг оси, то, очевидно,, поэтому.

Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг оси.

x

D

A

a

b

x

y

B

C

Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса:. Верхняя дуга эллипса получается при изменении от 0 до, при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра, равное, крайней правой точке соответствует значение. Формула для кривой, заданной параметрически, примет вид, поэтому.

Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры вокруг оси, рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса, толщины, высоты. Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщину и высоты; суммируя эти объёмы и переходя к пределу при, получим.

13.4.3. Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и, вокруг полярной оси находится по формуле. Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности вокруг полярной оси.

Решение:

.

13.5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

(- длина окружности кольца, - его ширина).

Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности вокруг оси.

Решение:.