Прямоугольный сигнал

1 2

Принцип неопределенности для сигнала

Рассмотрим спектры некоторых сигналов.

Определим аналитически прямоугольный импульс следующим образом:

где А – амплитуда импульса;

t - длительность импульса (рисунок 16).

Рисунок 5 – Прямоугольный импульс

По общей формуле прямого интегрального преобразования Фурье (5) для спектра прямоугольного импульса получим:

, (6)

где - площадь импульса.

Для построения графика спектра (рисунок 6) рассмотрим несколько частных случаев:

1) при , в силу свойства предела ;

2) нули функции определятся из условия:

откуда

;

3) при

Рисунок 7 – Спектр прямоугольного импульса

Рассмотрим произведение где длительность импульса, ширина спектра (f - циклическая частота). Длительность прямоугольного импульса определена и равна . Что же касается спектра, то он безграничен, хотя спектральная плотность убывает с ростом частоты.

Будем считать (произвольно), что верхней границей спектра, определяющей его ширину, является частота, при которой спектральная функция первый раз обращается в нуль, то есть . Ширина спектра равна разности частот:

откуда .

Таким образом, произведение ширины спектра прямоугольного импульса на его длительность есть величина постоянная, равная единице.

Дельта–функция

Аналитически дельта–функция определяется в виде:

Осуществить переход от прямоугольного импульса к дельта–функции возможно при выполнении следующих условий:

Действительно, при амплитуда импульса А будет стремиться к бесконечности, однако его площадь, согласно свойству дельта–функции (1), останется величиной постоянной:

Спектр дельта–функции, в соответствии с (28), равен:

то есть дельта–функция имеет равномерный единичный спектр на всех частотах (рисунок 8). Такой спектр по аналогии с белым светом называют «белым».

Рисунок 8 – Белый спектр

Интересно проследить деформацию спектра прямоугольного импульса при уменьшении его длительности. При спектральная функция становится все более пологой и в пределе стремится к единичному значению (рисунок 9).