Проекция Гаусса и плоские прямоугольные геодезические координаты

Местная система прямоугольных координат

Система прямоугольных пространственных координат.

Начало прямоугольной системы координат X,Y,Z (см.рис.2) находится в центре О земного эллипсоида, ось Z вдоль полярной оси, оси X,Y в плоскости экватора: первая - в плоскости начального меридиана, вторая - перпендикулярно к ней.

Эта система используется для определения положения внеземных объектов — ракет, искусственных спутников Земли и в ряде других случаев. Применения в инженерно-гео­дезических работах она пока не нашла.

Небольшой участок уровенной поверх­ности Земли можно считать совпада­ющим с горизонтальной плоскостью, т. е. с плоскостью, перпендикулярной к от­весной линии, проходящей через данную точку. На горизонтальной плоскости в геодезии установлена система плоских прямоугольных координат X, У. Вместной системе координат выбор направления осей носит произвольный характер. Обычно направление оси абсцисс совмещают с направле­нием на север местного меридиана. В строительстве часто за ось абсцисс принимают направление одной из главных осей строящегося объекта.

Для целей крупномасштабного картографирования и инженерной геодезии наиболее удобны проекции, обеспечи­вающие сохранение подобного изображения фигур при переходе с эллипсоида на плоскость; возникающие при этом искажения до­статочно малы и легко учитываются.

Этим требованиям отвечает принятая в России с 1928 г. поперечно-цилиндрическая равноугольная проекция Гаусса — Крюгера. По­верхность земной сферы разбивают меридианами на сферические двуугольники — зоны (рис. 3), каждая из которых проектируется на внутреннюю поверхность цилиндра и касается его по среднему (осевому) меридиану 2; ось цилиндра 3 лежит в плоскости экватора. Разрезав цилиндр по образующей АА₁ или ВВ₁ и развернув его бо­ковую поверхность, получим изображение земной поверхности на плоскости в виде отдельных зон, соприкасающихся одна с другой лишь в точках касания по экватору (рис. 4). При этом осевой мери­диан и экватор изображаются взаимно перпендикулярными прямыми линиями,

остальные меридианы — кривыми, а параллели — кри­выми, симметричными относительно осевого меридиана и обра­щенными выпуклостью к экватору. Выбор размера зоны (6° или 3°) зависит от масштаба выполняемых в данном районе съемок. Так, при составлении карт в масштабах 1: 10 000 и мельче применяют шести градусные зоны, для масштаба 1: 5000 и крупнее — трех­градусные. Шести градусные зоны нумеруются арабскими цифрами с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Долготу осевого меридиана шестиградусной зоны можно определить по фор­муле:

λ₀ = 6° n — 3°,

где n — номер зоны.

Осевыми меридианами трехградусных зон являются крайние и осевые меридианы шестиградусных, а их долготы равны числу, кратному трем.

В каждой зоне задается своя система прямоугольных ко­ординат, в которой за ось абсцисс (х) принимается изобра­жение осевого меридиана, а за ось ординат (у) — изображе­ние экватора. Таким образом, координатами какой-либо точки зоны являются ее расстояния от экватора (х) и от осевого мери­диана (у). Территория России расположена к северу от экватора, поэтому абсциссы точек местности в пределах нашей страны в рассматрива­емой системе координат всегда положительны. Для того чтобы и ординаты были только положительны, точкам осевого меридиана условно приписывают значение у = 500 000 м. Впереди измененной ординаты пишут номер зоны, в которой находится данная точка; такие ординаты называются преобразованными. На­пример, если точка расположена в зоне с номером 5 на расстоянии 46 344 м к западу от осевого меридиана, ее преобразованная орди­ната равна 5 453 656 м; если точка удалена на 145 876 м к востоку от того же осевого меридиана, то преобразованная ордината этой точки запишется в виде у=5 615 876 м.

Ориентирование линий. Понятие «ориентирование линий» связано с полярной системой координат. Ориентировать линию - зна­чит указать ее угол положения от меридиана, проходящего через нее. Различают два вида углов положения: азимуты и румбы.

Азимуты (рис. 5) отсчитывают от северных направлений меридианов по ходу часовой стрелки. Они могут иметь величину от 0 до 360°. Азимут, отсчитываемый от истинного (геогра­фического) меридиана, называют истинным А, от магнитного - магнитным Ам, от вертикальной линии сетки - дирекционным углом α.

Румбы отсчитывают от ближайшего северного или южного направлений меридиана как по ходу, так и против часовой стрелки (рис.6). Величина румба не превышает 90º. Чтобы различить румбы направлений, расположенных в равных координатных четвертях, перед угловой величиной каждого записывают сокращенное название четверти.

Как и азимуты, румбы бывают географическими и магнитными.

Первые отсчитывают от географического, вторые - от магнитного меридианов. Румбы, отсчи­тываемые от вертикальной линии прямоугольной сетки, называют дирекционными.

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh ADA3uPvCAAAA3AAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET0tqwzAQ3QdyBzGB7hK5hbqNY9kU40Kz dJIDTK3xh1ojYymx29NHhUJ383jfSfPFDOJGk+stK3jcRSCIa6t7bhVczu/bVxDOI2scLJOCb3KQ Z+tViom2M1d0O/lWhBB2CSrovB8TKV3dkUG3syNx4Bo7GfQBTq3UE84h3AzyKYpiabDn0NDhSEVH 9dfpahSYubg8N8X1OJat/9wPP2Vl40iph83ydgDhafH/4j/3hw7z4xf4fSZcILM7AAAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQAEqzleAAEAAOYBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAjDGKTUAAAAkwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAAMQEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABIAAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9w aWN0dXJleG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAwN7j7wgAAANwAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJ8C AABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD3AAAAjgMAAAAA ">

N

90º-В

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh ACBAG2PAAAAA3AAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET82KwjAQvi/4DmEEb2uqYNFuoyxFYT2q fYDZZmzLNpPSpLbr0xtB8DYf3++ku9E04kadqy0rWMwjEMSF1TWXCvLL4XMNwnlkjY1lUvBPDnbb yUeKibYDn+h29qUIIewSVFB53yZSuqIig25uW+LAXW1n0AfYlVJ3OIRw08hlFMXSYM2hocKWsoqK v3NvFJghy1fXrD+2+9L/bpr7/mTjSKnZdPz+AuFp9G/xy/2jw/x4Cc9nwgVy+wAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEABKs5XgABAADmAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAIwxik1AAAAJMBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAADEBAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAASAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvcGlj dHVyZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAIEAbY8AAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACfAgAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9wAAAIwDAAAAAA== ">

N

N к

N к

С 0º

180° Ю

Рис. 5 Азимуты:

О - начало полярной системы координат; ОМ - направление на точку М местности; ON, ON_M- истинный (географический) и магнитный меридианы; ON к- прямая, параллельная осевому меридиану зоны; А, А _м истинный и магнитный азимуты; α - дирекционный угол; γ - сближение меридианов; δ - магнитное склонение; ПН - поправка направления

Рис. 6 Румбы и их связь с азимутами:

О - начало полярной системы координат; сю - прямая, параллельная вертикальной линии прямоугольной сетки карты (направление север-юг); В3 - прямая, параллельная горизонтальной линии сетки (направление восток-запад); 1, 2, 3, 4 - точки местности; r_1, r₂, r₃, r₄. - румбы направлений соответственно 01, 02, 03, 04; α₁,α₂,α₃,α₄ ­ дирекционные углы тех же направлений

Зависимость между румбом и азимутом одного и того же направления приведена в табл.1

Таблица 1

Дирекцион-ный угол α, град.	Координатная четверть	Формула связи r с а	Пример запнси названия величины румба
номер	название
0-90		Северо-восточная	r = α	СВ: 42° 26'
90-180	II	Юго-восточная	r = 180°- α	ЮВ: 60° 14'
180-270	III	Юго-западная	r = α -180°	ЮЗ: 16° 18'
270-360	IV	Северо-западная	r=360°- α.	СЗ: 39° 55'

Сближение меридианов, показываемое на листе топографической карты, представляет собой угол γ (рис.7), образованный изображением географического меридиана точки и прямой, параллельной осевому меридиану зоны. Величина угла зависит от удаления точки от осевого меридиана и не превышает 3º. В точках, расположенных восточнее осевого меридиана, сближение имеет знак плюс, а западнее - минус.

N

S

N2

Рис.7 Зависимость между истинным азимутом и дирекционным углом:

NS - осевой меридиан зоны; lN, - меридиан точки 1; 2N₂ - меридиан точки 2; γ₁-­сближение меридианов в точке 1; γ₂ - сближение меридианов в точке 2; а₁,₂ и а₂,₁ ­ прямой и обратный дирекционные углы; А₁,₂ и А₂,₁- прямой и обратный азимуты (ис­тинные)

Между измеренным дирекционным углом и вычисляемым географическим азимутом (рис. 7) существует зависимость А=α+γ. На карте указывают величину сближения меридианов в центральной точке данного листа. Но поскольку точность измерения углов транспортиром не выше ± 15', вполне допустимо относить указанную величину сближения к любой точке местности, изображенной на листе.

Измеряют магнитные азимуты на местности приборами, имеющими магнитную стрелку (компас, буссоль). Она устанавливается в направлении магнитного меридиана – линии, проходящей через данную точку и магнитные полюсы Земли. Последние не совпадают с географическими. Вследствие этого магнитный и географический меридианы в общем случае пересекаются между собой, образуя угол δ, называемый магнитным склонением (см. рис.8). Оно может быть восточным (положительным) или западным (отрицательным) в зависимости от направления отклонения магнитного меридиана от географического. Величина магнитного склонения в данной точке не остается постоянной. Это объясняется тем, что магнитные полюсы медленно перемещаются вокруг географических, делая один оборот примерно за 500 лет. Кроме того, дважды в течение суток наблюдаются колебания магнитного склонения, вызываемые солнечными и лунными приливами атмосферы.

На картах не показывают магнитных меридианов, а дают усредненные сведения о величине магнитного склонения и его годовом изменении. Следовательно, измерить по карте магнитный азимут нельзя, как нельзя нанести на карту (план) направление по его магнитному азимуту, измеренному на местности. Однако, определив по карте истинный азимут А заданного направления и учтя магнитное склонение δ, легко вычислить магнитный азимут Ам=А - δ. Чаще всего к магнитному азимуту переходят от дирекционного угла при помощи по­правки направления ПН - угла отклонения магнитной стрелки от прямой, параллельной осевому меридиану зоны.

Возможны 6 случаев взаимного расположения меридианов (истинного, магнитного и прямой, параллельной осевому меридиану) в точках северного полушария (рис.8).

а б в

е

е

г

Рис.8 Переход от дирекционного угла к магнитному азимуту и обратно: а,б,в,г,д,е – возможные случаи взаимного расположения вертикальной линии 1 прямоугольной сетки; истинного 2 и магнитного 3 меридианов; Ам – магнитный азимут; α – дирекционный угол; γ – сближение меридианов; δ – магнитное склонение; ПН – поправка направления

При этом во всех случаях поправка направления равна алгебраической разности магнитного склонения и сближения меридианов, т. е. ПН = δ- γ. Измерив на плане дирекционный угол какого-либо направления, находят его магнитный азимут А_м = α - ПН, чтобы с использованием магнитной стрелки компаса построить это направление на местности. И наоборот, измерив на местности магнитный азимут направления, вычисляют его дирек­ционный угол а = А_м + ПН, чтобы прочертить это направление на плане. Из этих соотношений вытекает важная формула:

ПН = α - А_м,

которой пользуются при съемке для определения поправки направления буссоли.