Экспоненциальный сигнал

1 2

Пусть задан сигнал вида (рисунок 10):

где - функция включения (функция Хевисайда, “ ступенька”) (рисунок 11).

Рисунок 10 – Экспоненциальный импульс Рисунок 11 – Функция включения

Спектр экспоненциального импульса равен:

то есть спектральная функция является величиной комплексной. Рассчитаем ее модуль:

Обозначим , тогда и . Для построения графика спектра (рисунок 12) рассмотрим несколько частных случаев:

1) при ;

2) при ;

3) при ;

4) при , то есть модуль спектра безграничен.

Рисунок 12 – Модуль спектра экспоненциального импульса

Что принять за ширину спектра экспоненциального импульса? Нижняя граница спектра равна нулю, а в качестве верхней границы можно выбрать значение частоты, при которой модуль спектра уменьшится до 70% от начального значения , то есть или до 45% при и т.д. Выбор граничного значения неоднозначен.

Аналогичные рассуждения справедливы и для определения длительности экспоненциального импульса, поскольку он начинается при t = 0 и уменьшается до нуля при t ® ¥. Можно принять за длительность промежуток времени, за который амплитуда импульса спадает до 5% от начального значения , то есть Dt = 3T. Действительно:

Длительность импульса Dt = 4T соответствует уменьшению амплитуды импульса до 2%.

Проследим за изменением произведения при различном выборе длительности импульса и ширины спектра:

;

то есть произведение остается по порядку равным единице.

Ключ к пониманию проблемы о выборе длительности импульса и ширины его спектра дает соотношение, справедливое для интегрального преобразования Фурье и известное как теорема Рэйли. Оно аналогично неравенству Бесселя для рядов Фурье. Теорема утверждает равенство энергий во временной и частотной областях представления сигнала:

, (7)

где ;

- спектр сигнала ;

- величина, комплексно–сопряженная к .

Во временном представлении энергия распределена по времени, в частотном – по частоте, но, в принципе, она неизменна.

Упорядочить выбор для сигнала и позволяет использование понятий энергии и эффективной длительности (ширины).

Эффективная длительность импульса определяется промежутком времени, в котором сосредоточена подавляющая часть его энергии. Аналитически это выглядит следующим образом:

где h - относительная доля полной энергии, приходящейся на промежуток .

Аналогично определяется и эффективная ширина спектра сигнала:

В большинстве случаев просчитать эффективные характеристики сигнала возможно только численными методами.

Харкевич А.А. в своих работах приводит вычисленные произведения , которые определены при (за длительность импульса принимается временной промежуток, в котором содержится 90% полной энергии; за ширину спектра – частотный промежуток, в котором содержится 90% полной энергии):

- для прямоугольного импульса ;

- для экспоненциального импульса ;

- для треугольного импульса .

Общий вывод (принцип неопределенности для сигнала): произведение эффективной длительности сигнала на эффективную ширину его спектра есть величина постоянная, по порядку равная единице .

Иными словами, чем короче импульс, тем шире его спектр и наоборот. Это соблюдается для всех форм сигнала.

Принцип неопределенности был открыт Гейзенбергом в квантовой механике и относился к точности одновременного определения координаты и импульса электрона. Он гласит, что их произведение неизменно и равно постоянной Планка h:

Это правило оказалось справедливым и для представления сигналов во временной и частотной формах, что крайне важно с практической точки для импульсной техники. Нельзя создать короткий импульс с очень узким спектром. Произведение обязательно больше некоторой константы, близкой по значению к единице.