Отсев факторов в многофакторном процессе

Таблица 5.2

Нелинейные модели

Таблица 5.1

№ пп (N)	Фактор	Параметр (функция), у (hсо),%
х1 (М,т)	х2 (А,%)	Уэксп.	Уповт.	`Уср.	Урасч.
Код	Натура	Код	Натура
	– 1		– 1		39,0	-		39,325
	+1		– 1		40,0	40,8	40,4	40,075
	– 1		+1		38,1	39,1	38,6	39,325
	+1		+1		38,7	-	38,7	39,025

Рассчитаем коэффициенты регрессии по формулам (5.4) полинома первой степени (5.5):

b₀ = (39 + 40,4 + 38,6 + 38,7) / 4 = 39,175;

b₁ = (-1_* 39 +1_* 40,4 –1_* 38,6 +1_* 38.7) / 4 = 0,375;

b₂ = (-1_* 39 –1_* 40,4 +1_* 38,6 +1_* 38,7) / 4 = -0,525.

Математическая модель (линейный двухфакторный полином) влияния массы подачи и количества прямых подач на использование газового потока будет выглядеть следующим образом:

y = 39,175 + 0,375x₁ – 0,525x₂.

Подсчитаем расчетные значения функции у_расч для каждого опыта и подставим в табл. 5.1:

у₁ = 39,175 + 0,375_* (-1) – 0,525_* (-1) = 39,325;

у₂ = 40,075; у₃ =39,325; у₄ = 39,025.

Сравнивая расчетные данные у_расч с экспериментальными у_эксп видим, что совпадение между ними плохое, следовательно, необходимо проверить адекватность линейной модели.

Рассчитаем ошибку опыта, используя повторные опыты №2 и №3 по формуле (5.7):

S = Ö (2(40 – 40,4) ² +2 (38,1 –38,6) ²) /2_* (2 – 1) = 0,64.

и сравним её с коэффициентами регрессии модели. Видим, что они соизмеримы с ошибкой эксперимента, следовательно, линейная модель неадекватна. Для увеличения степени полинома, с целью получения адекватной модели, необходимо добавлять количество опытов с использованием нового стандартного плана.

Для получения модели второй степени воспользуемся симметричным композиционным ортогональным трехуровневым планом [7] (табл. 5.2),

№ пп (N)	Фактор	Параметр (функция), у (hсо),%
х1 (М,т)	х2 (А,%)	Уэксп.	Уповт.	`Уср.	Урасч.
Код	Натура	Код	Натура
	–1		–1		39,0	-		38,5
	+1		–1		40,0	40,8	40,4	41,0
	–1		+1		38,1	39,1	38,6	38,05
	+1		+1		38,7	-	38,7	39,23
	–1				40,2	-	40,2	41,48
	+1				44,8	43,6	44,2	43,31
		27,5	–1		40,7	-	40,7	40,85
		27,5	+1		39,5	-	39,5	39,75
		27,5			43,7	-	43,7	43,5

который состоит из ядра (ПФЭ), четырех опытов в «звёздных точках» и одного в нулевой (центральной) точке, причем в виде ядра воспользуемся уже имеющимся планом предыдущего параграфа.

Полный квадратичный полином (часть ряда Тейлора (4.1а)) для данного плана следующий:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₁x₁² + b₂₂x₂² + b₁₂x₁x₂ (5.8)

Коэффициенты регрессии к нему подсчитываются по более сложным формулам:

b₀ = P₁åy_i – P₂ååx_ji²y_i; b_j = P₃åx_jiy_i;

b_jj = P₄åx_ji²y_i + P₅ååx_ji²y_i – P₂åy_i; b_jk = P₆åx_jix_kiy_i, (5.9)

где Р₁…Р₆ – постоянные коэффициенты присущие выбранным планам. Итак, рассчитываем коэффициенты полинома (5.8):

b₀ = 0.556_* (39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2+40.7+39.5+43.7) – 0,333_*

(39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2+39+40.4+38.6+38.7+40.7+39.5) = 43,5;

b₁ = 0.1667_* (-39+40.4-38.6+38.7-40.2+44.2) = 0,917; b₂ = -0,55;

b₁₁ = 0.5_* (39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2) – 0.333_* (39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2+40.7+39.5+43.7)= -1,11; b₂₂ = - 3,21;

b₁₂ = 0.25_* (39 – 40.4 – 38.6 + 38.7) = - 0,325.

Таким образом, нелинейная математическая модель зависимости использования газового потока от массы подачи и системы загрузки выразится полиномом второй степени

h_со = 43,5 + 0,917х₁ – 0,55х₂ – 1,11х₁² –3,21х₂² – 0,325х₁х₂. (5.10)

Определим адекватность (соответствие экспериментальным данным) полученной модели, по критерию Фишера:

F_расч = S²_ад / S²_оп, (5.11)

где S²_ад и S²_{о п} – дисперсия адекватности и эксперимента соответственно. Рассчитаем дисперсию адекватности по формуле

S²_ад = , (5.12)

где и - расчетные и средние значения параметра, n и k - количество опытов и факторов соответственно. Для этого предварительно рассчитаем по формуле (5.10) значения и занесём их в последний столбец табл. 5.2. Дисперсия адекватности

S²_ад = (38.5-39)²+(41-40.4)²+(38.05-38.6)²+(39.23-38.7)²+(41.48-40.2)²+

+ (43.31-44.2)²+ (40.85-40.7)²+(39.75-39.5)²+(43.5-43.7)² / (9-6-1) = 1,79

Дисперсию эксперимента рассчитаем по трем повторенным опытам 2, 3 и 6-му:

S²_оп = 2(40.4-40)²+2(38.6-38.1)²+2(44.2-44.8)²/ 3_* (2-1) = 0,513.

Расчетный критерий Фишера равен F_расч = 1,79 / 0,513 = 3,49 < 4,28 = F_табл . Заключаем: поскольку расчетный критерий Фишера меньше табличного, значит модель адекватна.

Большинство металлургические процессы, как правило, характеризуются многофакторностью. Увеличение количества факторов влечет за собой рост количества опытов, необходимых для описания процесса. Таким образом, возникает проблема постановки небольшого числа экспериментов с учетом наибольшего количества факторов в целях получения априорной (до опытной) информации, позволяющей отсеять факторы, несущественно влияющие на процесс. Эта процедура называется отсеивающим экспериментом.

Таким образом, количество дорогостоящих опытов можно существенно уменьшить, если воспользоваться дробными репликами (часть ПФЭ)факторных планов. При этом необходимо стремиться к насыщенным планам, когда количество опытов на единицу больше, чем факторов, в этом случае предполагается, что имеют место только линейные эффекты. Планы дробных реплик для различного количества факторов приведены в источниках специальной литературы, например, [1,3,7].

Для отсева факторов 4-7и факторного процесса необходимы матрицы дробных реплик с восемью опытами; для 8-11и факторного процесса – с двенадцатью. Выбранную реплику ПФЭ реализуют и по полученным экспериментальным данным рассчитывают коэффициенты регрессии b_i полинома (5.5) по формулам (5.4). Сравнивают их с доверительным интервалом коэффициента регрессии, который рассчитывается по формуле

Db_j = ± t_a,N-1S / , (5.13)

где t_a,N-1 – табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости a = 0,05 и степени свободы (количества опытов) N-1.

Если по абсолютной величине bj £ Dbj, то коэффициент незначим, а соответствующий ему фактор не оказывает существенного влияния на процесс. Такой фактор должен быть отсеян (исключен) или зафиксирован на определенном уровне.

Возьмем в качестве примера отсев факторов при определении удельной производительности агломерационного процесса в зависимости от расхода углерода х₁, доли топлива в конце окомкования х₂ и влажности шихты х₃. Каждый из факторов имел значения на двух уровнях: верхнем (+) и нижнем (-):

фактор х₁ х₂ х₃

единица измерения % % %

верхний уровень (+) 4,2 100 8,5

нижний уровень ( – ) 3,8 60 7,5

Воспользуемся полу репликой полного факторного эксперимента 2³/2 = 4 опыта и построим расчетную таблицу 5.3.