Метод Гаусса-Зейделя

Классификация методов оптимизации

Совершенствование металлургических процессов чаще всего связано с определением экстремальных значений технико-экономических показателей.

Экстремум (от лат. extremum – край, конец) – наибольшее или наименьшее значение какой-либо функции.

Цель таких исследований – поиск оптимальных условий технологических процессов, составов сплавов, конструкций.

Оптимизация (от лат. optimus – наилучший) – математическая процедура отыскания наивыгоднейших характеристик какой-либо системы.

По количеству априорной (доопытной) информации об исследуемом процессе оптимизация бывает экспериментальная, когда неизвестна связь факторов с параметром оптимизации, и теоретическая, когда имеется математическая модель процесса. К экспериментальным методам относятся все шаговые методы (Бокса-Уилсона, ПСМ, Гаусса-Зейделя и др.), к теоретическим – математическое программирование (исследования функций, множителей Лагранжа и пр.).

По способу реализации пробных воздействий методы поиска экстремума делятся на детерминированные и случайные.

Детерминанта (от лат. determinans – определяющий) – причина, которая определяет возникновение явления.

При детерминированном поиске пробные движения осуществляются по определенному алгоритму, а направление и знаки приращений зависят от предыдущего движения, т.е. предыдущее определяет последующее.

Алгоритм (от лат. Algorithms – ал-Хорезми (узбекский математик 9 век)) – совокупность действий (правил) для решения данной задачи.

К детерминированным методам поиска экстремума относятся метод крутого восхождения, наискорейшего спуска, условного экстремума, последовательного симплексного (ПСМ) и др.

В случайных стратегиях поиска направления приращений управляющих воздействий задаются случайным образом, причем все направления равновероятны, а движение к экстремуму осуществляется в том случае, когда результат приводит к улучшению параметра оптимизации. К этим методам относятся случайный перебор всех возможных значений, чисто случайный поиск, Гаусса-Зейделя, статистический градиент и пр.

В качестве примера экспериментальной оптимизации рассмотрим самый простейший – метод Гаусса-Зейделя, а теоретической – метод исследования функций.

Оптимум процесса по этому методу определяется поочередным варьированием каждого фактора при фиксированном значении других. Последовательность операций следующая:

§ выбирают шаг варьирования каждого фактора (примерно 10% области определения фактора),

§ выбирается нулевая (стартовая) точка (нулевая точка выбирается таким образом, чтобы значения факторов были близки к обычным, чаще всего применяемым),

§ производятся пробные эксперименты с изменением значения каждого из факторов, сравниваются значения параметров оптимизации и по изменению его в лучшую сторону намечается фактор и направление последующих экспериментов,

§ производятся следующие эксперименты до тез пор, пока значение параметра не будет ухудшаться,

§ возвращаются к условиям опыта с лучшим значением параметра, изменяют второй фактор и проводят опыты до ухудшения.

Процедура повторяется до тех пор, пока не будет найден экстремум параметра оптимизации или последний будет ограничен границами факторного пространства.

Пример. Методом Гаусса-Зейделя выбрать оптимальные значения массы подачи (М) и количества прямых подач (А) для доменной печи полезным объёмом 2000 м³ (см. пример п.п. 5.2, 5.3).

В качестве целевого параметра оптимизации выберем использование газового потока h_со = 100_* СО₂ /(СО₂+СО). Количество прямых подач может меняться от 50 до 100%, поэтому шаг варьирования выбираем, в соответствии с рекомендацией (10-20% от области определения фактора), 10 %. Масса подачи для печей такого объёма изменяется, в зависимости от качества сырья, от 25 до 30 т, следовательно, шаг по этому фактору будет 1,0 т. Нулевая (стартовая) точка соответствует параметрам обычной работы печи, т.е. М = 26 т, А = 60%. Взаимно корреляционные функции (М, А ®h _со) показали, что время одного эксперимента на печи составляет не менее двух часов.

Итак, проводим двухчасовой эксперимент на печи с массой подачи 26 т и количеством прямых подач 60%, регистрируем использование газового потока h_со = 41% по анализу общего колошникового газа и заносим в табл.6.1.