В предыдущих параграфах этой главы были получены формулы для вычисления σ и τ при плоском изгибе балки.
Пусть в поперечном сечении произвольной балки действуют положительная поперечная сила Q и изгибающий момент M. На рис. 5.25,б и 5.25,в показаны графики σ и τ по высоте массивного сечения, а на рис. 5.25,а изображен фасад балки и напряженное состояние в ряде точек по высоте балки. Одна из граней элементарных кубиков совпадает с поперечным сечением. На рис.5.25,г показано сечение А-А и выделенные в нём элементы. Элементы 1 и 2 выделены у крайних точек сечения. Здесь τ = 0, σ = σmax или σ = σmin.
Элемент 3 выделен у точек нейтрального слоя, где σ = 0, τ = τmax:
Элементы 4 и 5 выделены у произвольных точек балки, здесь действуют и σ, и τ.
Таким образом, при поперечном изгибе материал балки находится в неоднородном плоском напряжённом состоянии. Условие прочности должно быть записано для опасной точки балки. Опасной будет одна из следующих трёх точек:
а) точка, где нормальное напряжение достигает наибольшей величины;
|
|
б) точка, где касательное напряжение достигает наибольшей величины;
в) точка, где σ и τ, хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее невыгодное сочетание, т.е. наибольшее расчётное напряжение по принятой теории прочности.
а б в г
Рис.5.25
Необходимо записать три условия прочности. Первая точка расположена в крайних волокнах сечения, где изгибающий момент имеет наибольшее значение (элементы 1 и 2). Напряжённое состояние в этой точке линейное и условие прочности запишется в виде (5.20)
.
Вторая точка будет находится на нейтральной линии того сечения, где поперечная сила имеет наибольшее значение (элемент 3). В такой точке наблюдается чистый сдвиг и поэтому условие прочности примет вид (5.40)
.
Что касается третьей точки, то положение её не столь определённо. Но где бы она ни была выбрана, в ней будет плоское напряжённое состояние (элементы 4 или 5), при котором главные напряжения рассчитывают по формулам (3.18). В нашем случае σх = σ, σу = 0, τху = τ и поэтому главные напряжения рассчитываются по формулам (3.18)
,
σ2 = 0, (5.41)
.
Внося эти величины в выражения для расчётных напряжений по III-й (наибольших касательных напряжений) и IV-й (энергетической) теориям прочности (3.49) и (3.52), получаем условия прочности
, (5.42)
. (5.43)
Практика применения и расчёта балок показала, что в подавляющем большинстве случаев опасной является крайняя точка того сечения, где M = Mmax. Подбор сечения балки всегда необходимо производить из условия прочности по нормальным напряжениям (5.20).
Проверку прочности по касательным напряжениям по формуле (5.40) необходимо делать только для балок из тонкостенных профилей.
|
|
И, наконец, проверку прочности по главным напряжениям по формулам (5.42) или (5.43) необходимо делать только в случае одновременного выполнения следующих двух условий:
1) балка сделана из тонкостенного профиля с резким переходом от полки к стенке (двутавр, швеллер, коробка);
2) на балке имеется сечение, где Q и M одновременно максимальные или их значения близки к максимуму.
Расчёт по всем трём указанным условиям называется полной проверкой прочности. Приведём её пример.
Рис.5.26
Рассмотрим балку, изображённую на рис.5.26. Необходимо подобрать двутавровое сечение, заданы допускаемые напряжения:
[σ] = 16 кН/см2, [τ] = 8 кН/см2.
Найдём опорные реакции
å МА = 0: – q ∙ 3 ∙ 1,5 + 3RB – 4P = 0,
å y = 0: RA – q ∙ 3 + RB – P = 0, RB = 80 ∙ 3 – 200 + 60 = 100 кН.
При построении эпюр Q и M не будем составлять уравнения по участкам, а воспользуемся рекомендациями п.5.3.
Сначала вычислим значения Q в характерных сечениях: у опоры А: Q = RA = 100 кН (при этом закрываем правую часть балки); далее Q уменьшается и у опоры B становится равной Q = RA – q ∙ 3 = 100 – 80 ∙ 3 = – 140 кН; в сечении около силы P: Q = P = 60 кН (при этом закрываем левую часть балки); отодвигаем это сечение влево до опоры B – Q не меняется. Эпюра Q построена.
Помним, что момент M равен площади предшествующей эпюры Q. На шарнирной опоре A: M = 0. Далее при движении от опоры A вправо при положительной Q момент возрастает и в точке, где Q пересекает ноль, M = Mmax = площади треугольника на эпюре Q. Один катет треугольника известен 100 кH, второй – х0 = Q/q = 100/80 = 1,25 м, Mmax = ½ ∙ 100 ∙ 1,25 = 62,5 кН ∙ м. Затем момент уменьшается на площадь отрицательного треугольника: Mmax = 62,5 – ½ ∙ 140 ∙ 1,75 = – 60 кН ∙ м. Далее момент возрастает на площадь положительного прямоугольника: М = –60+60 ∙ 1=0. Действительно, в сечении около силы P момент должен быть равен нулю. Эпюра M построена.
1. Подберем двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям (5.20):
.
В числителе момент переводим из кН×м в кН×см и поэтому умножаем на 100. По сортаменту прокатной стали «Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72)» находим двутавр № 27а: Wz = 407 см3.
2. Проверим прочность по касательным напряжениям по формуле (5.40):
,
следовательно, прочность не обеспечена. Возьмем следующий по сортаменту двутавр – № 30 и проверим его прочность:
.
Хотя напряжения превышают величину допускаемых, прочность можно считать обеспеченной, т.к. превышение менее 5%:
.
3. Проверим прочность по главным напряжениям, т.к. имеется сечение, где Q и M одновременно близки к максимальным значениям. На опоре B: Q = 148 кH, M = 60 кH×м. На рис. 5.27 показан двутавр №30 и графики напряжений (уклоном полки в двутавре пренебрегаем и считаем, что полка имеет постоянную, указанную в сортаменте, толщину t).
В точке С под полкой:
,
,
.
Pис.5.27 Pис.5.28
Проверим прочность по III-й теории прочности по формуле (5.42)
.
Прочность не обеспечена, т.к. перенапряжение превышает 5%:
.
Возьмём следующий по сортаменту двутавр № 30а и проверим его прочность в точке С (рис.5.28):
,
,
,
.
Прочность обеспечена, т.к. перенапряжение незначительно
.
Итак, принимаем двутавр № 30а; прочность балки лимитируется не наибольшим нормальным напряжением и не наибольшим касательным напряжением, а напряжённым состоянием в точке перехода от полки к стенке.