Различных профилей. Условие прочности

Распределение касательных напряжений в балках

Рассмотрим распределение касательных напряжений в некоторых наиболее часто встречающихся профилях. Из формулы (5.27) видно, что касательные напряжения изменяются по высоте сечения по тому же закону, как и величина S_z^OTC/b_y. В любом поперечном сечении в наиболее удалённых от нейтральной оси точках касательные напряжения равны нулю, т.к. F₁ = 0.

Прямоугольное сечение. Проведем линию mn, параллельную нейтральной линии и удалённую от нее на произвольное расстояние y, и найдём τ в точках этой линии (рис.5.22). Линия mn отсекает площадь

Рис.5.22

Статический момент этой площади

Подставляя в формулу (5.27) найденное значение S_z^OTC, а также b_y = b и J_z = bh³/12, получаем . (5.28)

Переменная y входит во второй степени, следовательно, эпюра τ параболическая. В наиболее удалённых от нейтральной линии точках y = ± h/2 и τ = 0. Для точек нейтральной линии y = 0 и

. (5.29)

Формулу (5.29) можно записать также в виде (при k = 1,5)

. (5.30)

Круглое сечение (рис.5.23). Подобным образом для него получим

. (5.31)

Рис.5.23

Как видно, эпюра τ вновь получается параболической. Наибольшее касательное напряжение в точках нейтральной линии

. (5.32)

Двутавровое сечение. Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины при переходе от стенки к полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая величина. На рис 5.24 показан двутавр, обозначение размеров которого соответствует обозначению сортамента прокатных двутавров.

Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в нескольких характерных точках: а) в точке 1, лежащей на нейтральной линии; б) в месте сопряжения полки со стенкой (в точках 2 и 3), причем будем считать, что эти точки расположены бесконечно близко к границе полки, но лежат по разные стороны от нее; в) в крайних волокнах.

В точке 1 нейтральной линии касательное напряжение наибольшее

, (5.33)

где – наибольший статический момент отсечённой части (это статический момент полусечения). Для прокатного профиля эта величина, а также момент инерции J_z даются в сортаменте.

Рис.5.24

Для сварного двутавра из прямоугольных полос

, (5.34)

, (5.35)

, (5.36)

. (5.37)

В точке 2, принадлежащей стенке,

. (5.38)

В точке 3, принадлежащей полке,

. (5.39)

В крайних волокнах τ = 0, т.к. S_z = 0.

Построенная по точкам эпюра τ в некотором смысле условна, т.к. дает верные значения только для точек стенки. Скачок в напряжениях при переходе от полки к стенке невозможен, на самом деле в этом месте имеется концентрация напряжений. Для уменьшения её в прокатных двутаврах углы закругляют. Материал стальных балок пластичный и при статической нагрузке концентрацию напряжений можно не учитывать.

Формула (5.27) и рассмотренные примеры позволяют сделать некоторые общие заключения о распределении касательных напряжений при поперечном изгибе:

1) вид эпюры τ зависит от формы поперечного сечения балки;

2) в крайних наиболее удалённых от нейтральной линии точках τ всегда равно нулю;

3) наибольшей величины касательные напряжения достигают на нейтральной линии сечения и подсчитываются по формуле (5.33); они также могут быть найдены по формуле (5.30)

где k = 1,5 для прямоугольника и k = 1,33 – для круга;

4) формулой Журавского можно пользоваться для вычисления τ в любых точках массивных профилей, а также в стенке тонкостенных прокатных профилей.

В точке, где касательное напряжение наибольшее, имеет место частный случай плоского напряжённого состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет вид

, (5.40)