Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений

Рис. 7.1

Во вращающихся валах скручивающий момент совершает работу на угле поворота вала (рис.7.1,б). Если w – угловая скорость в радианах/сек, то работа скручивающего момента будет

A = Mα = Mωt.

В то же время мощность N, передаваемая валом, это работа в единицу времени t:

Þ A = Nt.

Отсюда получим выражение для скручивающего (внешнего) момента

. (7.1)

где N – кВт, М – кН×м.

Очень часто угловую скорость задают в об/мин. Тогда

,

где n – об/мин. Формула (7.1) приобретает вид

, (7.2)

где N – кВт, М – в кгм; или

, (7.3)

где N – в лошадиных силах, М – в кгм.

В общем случае на брус могут действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся (рис.7.2).

При этом внутренним усилием будет крутящий момент M_кр, который представляет собой результирующий момент касательных напряжений в поперечном сечении бруса. Крутящий момент М_кр равен сумме внешних скручивающих моментов М, расположенных по одну сторону от сечения. Закон изменения крутящих моментов по длине бруса представляют в виде графика – эпюры крутящих моментов.

Рис. 7.2

Знак крутящего момента физического смысла не имеет, но о нём необходимо договориться для построения эпюры. Будем считать, что внешние скручивающие моменты, действующие на рассматриваемую отсечённую часть стержня по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения, вызывают в этом сечении положительный крутящий момент, а действующие против часовой стрелки – отрицательный. В соответствии с принятым правилом построена эпюра М_кр для бруса на рис. 7.2.

Задача о кручении прямого бруса статически неопределима: для определения напряжений необходимо рассмотреть статическую и геометрическую стороны. Сначала рассмотрим геометрическую картину деформации круглого стержня. Опыты показывают, что предварительно нанесённая на поверхность стержня сетка, состоящая из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги, после закручивания будет перекашиваться (рис.7.3): продольные линии сетки станут винтовыми, а расстояния между кругами останутся неизменными. Это видно особенно наглядно, если в качестве материала вала взять резину.

На основании указанных экспериментальных данных принимаются следующие допущения о деформации круглого стержня.

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и после деформации.

2. Расстояние между поперечными сечениями не меняется.

3. Прямые радиусы, проведённые в сечении, остаются прямыми.

Эти особенности деформации круглого стержня получены из гипотезы плоских сечений. Деформация при кручении характеризуется углом закручивания j.

γ – угол сдвига; φ – угол закручивания