2014-02-24
2156
ЛЕКЦИЯ 4
Следствие 2.
Если события 
несовместны (
), то 
.
|
Замечание. Из геометрических соображений (см. рис.) очевидно, что:
1. Формула полной вероятности [1]
Постановка задачи: Пусть 
- полная система (группа) попарно несовместных событий (в дальнейшем эти события 
будем называть гипотезами) т. е.
или, что то же самое,
,
и пусть событие 
может произойти лишь совместно с каким-либо одним из этих событий (гипотез). Требуется найти вероятность события .
Выведем формулу решения этой задачи. Имеем
.
Здесь, очевидно (см. постановку задачи),
,
поэтому
.
Полученная формула называется формулой полной вероятности.
|
ПРИМЕР 1. Турист выходит из пункта В и наугад выбирает на развилке один из маршрутов (схема дорог). Какова вероятность того, что он попадет в пункт А?
Решение. Как видим из схемы дорог, путь туриста обязательно проходит через один из пунктов 
. Тогда 
- гипотеза (предположение) которая состоит в том, что турист попал в пункт 
. Заметим, что события (гипотезы) попарно несовместны и равновероятны, т.е., очевидно, образуют полную группу событий: во-первых, 
и, во-вторых, 
. Событие - турист попал в пункт А. Тогда, нетрудно видеть (см. схему), что 
. Значит, по формуле полной вероятности, получаем:
.
|
ПРИМЕР 2 (о мудреце и властелине). Властелин, разгневавшись на мудреца, приказал отрубить ему голову. Но затем, смягчившись, дал мудрецу возможность попытаться спастись. Итак, властелин взял 2 белых и 2 черных шара и предложил мудрецу распределить их по своему усмотрению по двум одинаковым урнам. После чего, палач сначала наугад выберет одну из урн, а затем также наугад, не глядя, вытащит из неё один шар. Мудрец будет помилован, если вытянутый шар оказался белым. Какую стратегию распределения шаров по урнам должен выбрать мудрец, чтобы быть помилованным? Какова максимальная вероятность спастись мудрецу? Какая стратегия наименее выгодна для него?[2]
Решение. Выдвинем гипотезы (предположения) 
, которые состоят в том, что палач вытащит шар из 
- ой урны (
). Очевидно, что эти события 
и 
несовместны и их сумма является достоверным событием (
), т.е. образуют полную группу (систему) событий. И пусть - это событие состоящее в том, что палачом вытянут белый шар.
Далее, рассмотрим следующие варианты распределения мудрецом шаров по урнам:
1). В первой урне 2 белых, а во второй 2 черных шара. Тогда 
; 
. Следовательно 
.
2). В первой и во второй урнах по 1 белому и 1 черному шару. Тогда 
=
. Следовательно 
. K
3). В первой урне 1 белый, а во второй 1 белый и 2 черных шара. Тогда ; 
. Следовательно 
. J
4). В первой урне 1 черный, а во второй 2 белых и 1 черный шары. Тогда 
; 
. Следовательно 
.
5). Первая урна оказалась пустой, т.е. все шары во второй урне. Тогда; 
. Следовательно 
. L
Как видим, наиболее предпочтительной является 3-я стратегия, ей соответствует вероятность быть помилованным равная 
- действительно мудрое решение; наименее выгодна - последняя, 5 - я стратегия, где вероятность спастись равна 
- совсем не мудро!
