2014-02-24
3985
Постановка задачи: Пусть 
- полная система (группа) попарно несовместных событий (гипотез) т. е.
и пусть событие 
может произойти лишь совместно с каким - либо одним из этих событий (гипотез) - ситуация аналогичная той, которая была ранее. И пусть 
. Требуется найти условную вероятность 
- ой гипотезы при условии, что событие произошло, т.е. 
- переоценка гипотез.
По теореме об умножении вероятностей
.
Следовательно
.
Или, с учетом того, что 
, можем записать:
.
Полученная формула называется формулой Байеса (Бейеса) для переоценки гипотез. Другими словами: вероятность 
гипотезы после испытания равна произведению вероятности 
гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность 
события, происшедшего при испытании, деленному на полную вероятность 
этого события.
|
ПРИМЕР. При обследовании больного имеется подозрение (т.е. делаются предположения или, что то же самое, выдвигаются гипотезы) на одно из двух заболеваний 
. Их вероятности в данных условиях равны 
и 
соответственно. Для уточнения диагноза назначается обследование, результатом которого будет отрицательная или положительная реакция. В случае болезни 
вероятность положительной реакции равна 0,9, а в случае болезни 
эта вероятность равна 0,5.
|
|
|
Обследования проведены дважды и оба раза реакция оказалась отрицательной. Найти вероятность каждого заболевания.
Решение. Во - первых, очевидно, что события образуют полную группу событий. Действительно, эти события несовместны, так как у больного имеется подозрение только лишь на одно из двух заболеваний и сумма 
событий - есть достоверное событие (обследуемый болен): 
. Во - вторых, если обозначить через событие, которое состоит в том, что оба обследования дали отрицательный результат, то 
. Таким образом, нетрудно видеть, что
;
.
Как видим, при данных результатах обследования следует предполагать болезнь .
