Основные свойства вероятности

Основные свойства вероятности. Теорема сложения. Условная вероятность.

ЛЕКЦИЯ 3

Сразу же отметим, что рассматривая основные свойства вероятности, будем говорить лишь о таких событиях, для определения вероятностей которых можно построить полную систему событий с конечным числом исходов.

Первые два свойства очевидны:

1. - невозможное событие;

2.

Эти свойства нетрудно доказать. Например, то что . Действительно, так как . Но согласно III-ей аксиоме .

Замечание 1. Если вероятность события равна нулю (единице), то это еще не означает, что событие невозможное (достоверное). Это означает только то, что при неограниченном увеличении числа опытов частота появления этого события будет стремиться к нулю (единице).

Сформулируем и докажем еще несколько свойств. А именно:

3. Если - полная группа попарно несовместных событий, то Действительно, из определения полной группы (системы) событий следует, что .Но, (III-аксиома) = .

4. Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не может превышать вероятность события , т.е. .

Доказательство: , причем , то есть - несовместны. Следовательно, согласно III - ей аксиоме: . Но, по I-ой аксиоме , так как вероятность любого события неотрицательна. Значит - что и требовалось доказать.

Замечание 2. Выше, при доказательстве свойств использовалось аксиоматическое определение вероятности. Нетрудно доказать, например теорему сложения вероятностей несовместных событий, используя классическое определение вероятности.

ТЕОРЕМА (сложения вероятностей несовместных событий): Если события и несовместны, т.е.

Доказательство. Пусть полная система состоит из исходов. Пронумеруем её случаи так, чтобы первые случаев благоприятствовали событию , но не , тогда ; следующие случаев благоприятствовали событию , но не , тогда ; а остальные случаи не благоприятствовали ни событию , ни событию . В силу несовместности указанных событий и , благоприятствующих исходов и событию и событию одновременно в полной системе нет.

Итак:

.

Число случаев, благоприятствующих +, равно . Поэтому

.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. В урне 100 шаров, из них 20 белых (не цветных), 30 синих и 50 красных. Какова вероятность появления цветного шара?

Решение. Пусть событие - появление белого шара ; событие - появление синего шара ; событие - появление красного шара .

Найдем:

,

или

.

Замечание 3. Для несчетного случая исходов, составляющих , теорема сложения несовместных событий принимается в качестве одной из основных аксиом теории вероятностей:

Заметим также, что если .

Будем говорить, что последовательность событий монотонно возрастает (см. рис.), если

Тогда

.

Аналогично, последовательность событий монотонно убывает, если

Тогда .

ТЕОРЕМА (непрерывности): Если последовательность монотонна, то .