2014-02-24
3120
Аксиоматическое определение вероятности. Аксиоматическая теория вероятностей в её современном виде была создана А. Н. Колмогоровым ещё в 1933г.
Определение: Вероятностью события 
называется числовая функция 
, удовлетворяющая следующим трем условиям (аксиомам вероятностей):
1). 
;
2). 
;
3). Для любой конечной или бесконечной последовательности событий 
, таких, что 
имеет место равенство 
.
(заметим, что последняя аксиома называется аксиомой сложения).
Другими словами, вероятностью события называется числовая мера степени объективной возможности наступления этого события.
Введенные аксиомы определяют понятие «вероятность события» и устанавливают основные свойства вероятности. Однако это определение слишком общее и не позволяет производить вычисления. Очевидно, что
.
Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
Пусть опыт 
повторяется 
раз, при этом 
раз произошло событие , т.е. проведена серия из испытаний.
Определение: Относительной частотой (частостью) 
события называется
|
|
|
,
то есть, отношение числа появления данного события к общему числу проведенных испытаний при одном и том же комплексе условий .
ПРИМЕР. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали из 100 случайно отобранных. Тогда 
.
Заметим, что до проведения серии опытов частота P * ( A ) является числом случайным, которое нельзя точно определить ни для какого конечного числа испытаний n. Однако, закономерности, присущие случайным явлениям, таковы, что на практике по мере увеличения числа повторных серий испытаний различной длины наблюдается тенденция относительной частоты становиться все менее случайной и стабилизироваться около некоторого постоянного (и неслучайного) значения события в данном эксперименте . Это свойство относительной частоты называется свойством устойчивости.
Определение: Статистической вероятностью события (т.е. ) называется число, около которого устойчиво колеблется частота при повторении серий испытаний.
ПРИМЕР. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления герба. Результаты нескольких опытов приведены в таблице
| Число бросаний | Число появлений герба | Относительная частота |
| 12 000 24 000 | 12 012 | 0,5069 0,5016 0,5005 |
Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причём тем меньше, чем больше число испытаний. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при 24 000 испытаний – лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления герба при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности.
|
|
|
Статистический способ определения вероятности обладает тем преимуществом, что он опирается на эксперимент. Недостатком же этого определения является необходимость в большом числе опытов для получения достоверных данных.
Классическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности случайного события вводится, когда пространство элементарных событий 
конечно и представляет собой полную систему (группу) событий.
Говорят, что случай 
благоприятен событию (или благоприятствует появлению события ), если его появление влечет обязательное появление события (т. е. 
) и не благоприятен событию (или - не благоприятствует появлению события ), если его появление исключает появление события .
Определение: Вероятностью (классической) события называется число 
(
), равное отношению числа исходов, благоприятствующих появлению события , к общему числу (единственно возможных и равновозможных) элементарных исходов, образующих полную систему событий:
.
Из этого определения следует, что элементарные случаи 
являются равновероятными событиями, т.е. 
. Таким образом, классическая схема может служить моделью тех случайных явлений, для которых представляется естественным предположение «равновозможности» различных исходов, что часто следует из определенной симметрии и выполняется в области азартных игр, лотерей, при выборочном контроле, выборочных статистических исследованиях и т.п.
Ограниченностью или недостатками классического определения вероятности является то, что:
1. - конечно. Всегда возникает стремление и желание обобщить это понятие;
2. невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий;
3. трудно указать основания, считать элементарные события равновозможными (равновероятными).
Наряду с недостатками есть и положительные стороны этого определения. В частности то, что с помощью классического определения вероятность события можно вычислить, что очень важно, до начала проведения опыта.
Геометрическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай непрерывных множеств с бесконечным числом элементарных исходов.
Пусть - некоторая область, имеющая меру, 
подобласти области . Условия опыта таковы, что вероятность попадания в ту или иную область не зависит от расположения подобласти в и пропорциональна мере подобласти, то есть 
. Так как 
. Значит 
- это и есть геометрическое определение вероятности.
ПРИМЕР. Два партнера договорились о встрече между 12 и 13 часами дня с условием ожидать друг друга не более 20 минут. Найти вероятность их встречи.
|
Решение. Пусть 
- время прихода первого партнера; 
- время прихода второго партнера. Тогда, очевидно, 
и, следовательно, множество всех элементарных исходов 
- квадрат (см. рис.)
Имеем: 
, а так как каждый партнер ждет не более 20 минут, то область встречи такая, что
.
Последнее условие является необходимым и достаточным условием того, что встреча состоится. Найдем 
и 
. Таким образом, искомая вероятность 
- это означает, что если многократно договариваться о встрече на указанных условиях, то несколько чаще, чем в половине случаев, встреча будет происходить.
