2014-02-24
3456
,
где 
– индуктивность контура; 
– сила тока в контуре.
Если индуктивность контура не изменяется со временем, то
.
Заряд, протекающий в контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур,
,
где 
и 
– начальное и конечное значение потокосцепления контура; 
– электрическое сопротивление контура.
Зависимость тока от времени при замыкании в цепи, содержащей индуктивность (рис. 3.15):
,
где 
– сила тока в начальный момент времени; 
– ЭДС; – сопротивление; – индуктивность в цепи.
Зависимость тока от времени при размыкании в цепи, содержащей индуктивность (рис.3.16):
Рис. 3.15. Явление самоиндукции
при включении тока
.
Еще одним частным случаем электромагнитной индукции является взаимная индукция. Взаимной индукцией называют возникновение индукционного тока в замкнутом контуре (катушке) при изменении силы тока в соседнем контуре (катушке). Контуры при этом неподвижны друг относительно друга, как например, катушки трансформатора.
Количественно взаимная индукция характеризуется коэффициентом взаимной индукции, или взаимной индуктивностью. При изменении силы тока в первом контуре I 1 в контуре 2 возникает индукционный ток I 2. Поток магнитной индукции Ф1,2, созданный током в первом контуре и пронизывающий поверхность, ограниченную вторым контуром, пропорционален силе тока I 1:
|
|
|
Ф1,2= L 1,2 I 1,
где L 1,2 – взаимная индуктивность. Он аналогичен индуктивности L.
Согласно закона электромагнитной индукции, ЭДС индукции во втором контуре равна:
Рис. 3.16. Явление самоиндукции
при выключении тока
.
Коэффициент L 1,2 определяется геометрией обоих контуров, расстоянием между ними, их взаимным расположением и магнитными свойствами окружающей среды.
Если сила тока меняется во втором контуре, то в первом контуре возникает ЭДС индукции
.
Можно доказать, что L 1,2= L 2,1.
3.8. Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля контура с током
.
Энергия однородного магнитного поля, локализованного внутри объема 
неферромагнитной изотропной среды,
.
Энергия магнитного поля двух контуров с токами
,
где 
– взаимная индуктивность.
Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)
,
где B ‑ магнитная индукция; Н ‑ напряженность магнитного поля.
Примеры решения задач
Задача 3.1.
Чему должно быть равно отношение длины катушки к ее диаметру, чтобы напряженность магнитного поля в центре катушки можно было найти по формуле для напряженности поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.
|
|
|
Решение
Воспользуемся формулами для напряжённости магнитного поля на оси соленоида конечной длины: 
и бесконечно длинного соленоида: 
. Здесь 
– плотность намотки соленоида.
Рис. 3.17
Для напряжённости поля в центре соленоида в силу симметрии 
(см. рис. 3.17), тогда 
:
.
Относительная погрешность 
; или 
; 
. Из рис. 3.17 
. Тогда 
, откуда:
; 
; 
;
; 
.
Подставим численные значения: 
.
Ответ: 
.
Задача 3.2.
По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи силой 50 А и 100 А в противоположных направлениях. Расстояние между проводами 0,2 м. Определить магнитную индукцию в точке, удаленной на 0,25 м от первого и на 0,4 м от второго провода.
Решение
По правилу правого винта определяем направления векторов индукции 
и 
магнитных полей, созданных в точке О токами I 1 и I 2 соответственно (рис. 3.18). По принципу суперпозиции 
. Величину результирующего вектора 
найдём по теореме косинусов: 
. Аналогично,
Рис. 3.18
по теореме косинусов для треугольника 12 О: 
.
Тогда 
. Величины и определяем по формуле индукции прямого бесконечного проводника с током: 
и 
. Магнитную проницаемость считаем равной μ=1 (т. к. магнетика нет). Тогда:
.
Подставим численные значения:
или 
.
Ответ: 
.
Задача 3.3.
По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью 2×106 А/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом 5×10-3 м, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол 300 с вектором плотности тока.
Решение
По теореме о циркуляции циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна результирующему макротоку, текущему сквозь поверхность, натянутую на этот контур: 
.
Суммарный макроток выразим через плотность тока: 
,
где интеграл берется по поверхности S, натянутой на контур L, α – угол между нормалью к контуру и вектором плотности тока (рис. 3.19).
Рис. 3.18
Поскольку 
и ток распределён равномерно (
), то
.
Здесь учтено, что интеграл по поверхности, натянутой на контур, равен площади круга: 
. Таким образом, 
.
Подставим численные значения:
А.
Ответ: 
А.
Задача 3.4.
По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределен заряд 0,24 мкКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью 10 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить магнитный момент, обусловленный вращением заряженного стержня; отношение магнитного момента к моменту импульса, если стержень имеет массу 12 г.
Решение
На расстоянии x от оси вращения выделим элемент длины стержня d x (рис. 3,20). Его заряд d q найдём из пропорции: 
. Заряд d q, вращающийся по окружности, создает эквивалентный ток 
, где 
– период вращения. Магнитный момент этого тока равен 
, где 
– площадь «витка» эквивалентного тока, поскольку заряд вращается по окружности радиусом x. Таким образом, получим:
.
Рис. 3.20
Проинтегрировав полученное выражение по всей длине стержня, получим магнитный момент, обусловленный его вращением:
,
или 
.
Момент импульса твёрдого тела по определению равен 
, где 
– момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему. Тогда 
. Таким образом, отношение моментов равно:
.
Подставим численные значения:
;
.
Ответ: 
; 
.
Контрольные вопросы и задания
1. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?
2. Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных одинаковых токов противоположного направления.
3. Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?
4. Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле?
5. Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?
|
|
|
6. Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однородном магнитном поле?
7. Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?
8. Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?
9. Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?
10. Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?
11. Какие меры необходимо предпринимать для предотвращения разрушительных последствий при замыкании и размыкании цепей, содержащих катушки с большой индуктивностью (электромагниты, электродвигатели, электрогенераторы, трансформаторы)?
12. Что такое диамагнетики? парамагнетики? В чем различие их магнитных свойств?
13. Что такое намагниченность? Какая величина может служить ее аналогом в электростатике?
14. Запишите и объясните соотношения между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью для парамагнетика; для диамагнетика.
15. Выведите связь между векторами магнитной индукции, напряженности магнитного поля и намагниченности.
16. Изобразите и поясните петлю гистерезиса ферромагнетика.
17. Каков механизм намагничивания ферромагнетиков?
