2014-02-24
16020
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания могут быть различными по физической природе (механическими, электромагнитными, гравитационными), но описываются они одинаковыми по структуре уравнениями.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону, т. е. по закону синуса или косинуса.
Колебания бывают свободными и вынужденными. Свободные колебания разделяют на незатухающие (собственные) и затухающие.
Свободные незатухающие, или собственные, колебания – это такие колебания, которые совершаются за счет энергии, сообщенной колебательной системе в начальный момент времени, при отсутствии дальнейшего внешнего воздействия на систему.
Дифференциальное уравнение собственных электрических гармонических колебаний 
контура (рис. 4.1)
,
где 
– электрический заряд конденсатора; 
– циклическая (круговая) частота свободных незатухающих колебаний, 
(здесь 
– индуктивность контура; 
– электрическая емкость контура).
Уравнение электрических гармонических колебаний:
,
где 
– амплитуда заряда конденсатора; 
– начальная фаза.
Сила тока в колебательном контуре
,
где 
– амплитуда силы тока, 
.
Рис. 4.1. Идеальный колебательный контур
Период колебаний – время одного полного колебания. За это время фаза колебаний получает приращение 
.
Частота колебаний – число колебаний, совершаемых за единицу времени,
.
Формулы, связывающие период, частоту и циклическую частоту:
; 
; 
.
Период свободных незатухающих колебаний в электромагнитном колебательном контуре определяется формулой Томсона
.
Амплитуда результирующего колебания заряда, возникающего в двух разных контурах и складываемого на одной нагрузке, (складываемые колебания одного направления и одинаковой частоты)
,
где 
и 
– амплитуды двух колебаний; 
и 
– начальные фазы двух колебаний.
Начальная фаза результирующего колебания заряда, участвующего в двух колебаниях одного направления и одинаковой частоты,
.
Уравнение биений, т. е. негармонических колебаний, возникающих при наложении гармонических колебаний, частоты которых достаточно близки:
,
где – амплитуда биений; 
– частота биений, 
.
Уравнение траектории движения заряда, участвующего в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты:
.
Свободные затухающие колебания – это такие колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии колебательной системой. В электрическом колебательном контуре энергия расходуется на джоулево тепло и на электромагнитное излучение.
Дифференциальное уравнение затухающих электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление 
:
,
где 
– коэффициент затухания, 
(здесь – индуктивность контура).
Уравнение затухающих колебаний в случае слабого затухания (
) (рис. 4.2):
,
где 
– амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора; 
– начальная амплитуда колебаний; 
– циклическая частота затухающих колебаний, 
.
Рис. 4.2. Изменение заряда во времени при слабых затухающих колебаниях
Время релаксации – это промежуток времени 
, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 
раз:
.
Время релаксации связано с коэффициентом затухания соотношением
.
Логарифмический декремент затухания колебаний
,
где 
– период затухающих колебаний.
Формула, связывающая логарифмический декремент колебаний с коэффициентом затухания и периодом затухающих колебаний:
.
Вынужденные колебания – это такие колебания, которые совершаются при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.
Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление , при наличии вынуждающей ЭДС 
, изменяющейся по гармоническому закону 
, где 
– амплитудное значение ЭДС, а – циклическая частота изменения ЭДС (рис. 4.3):
,
где – коэффициент затухания, ; – индуктивность контура.
Рис. 4.3. Контур для наблюдения вынужденных электрических колебаний
Уравнение установившихся вынужденных электрических колебаний:
,
где 
– разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока.
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний заряда конденсатора
.
Разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока
.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между циклическими частотами вынуждающего воздействия и собственных колебаний . Резонансная частота и резонансная амплитуда:
; 
.
