Прямая задача линейного программирования ставится следующим образом. Находят значения переменных (х1, х2,..., xn), удовлетворяющие условиям:
a11x1 +... + a1 l x l + a1, l +1x l +1 +... + a1nxn = b1
.....................................
ak1x1 +... + ak l x l + ak, l +1x l +1 +...+ aknxn = bk
|
.....................................
am1x1 +... + am l x l + am, l +1x l +1 +... + amnxn ≤ bm,
обращающим в максимум линейную форму
L = c1x1 +... + cnxn → max.
При этом допускается, что часть переменных x1,..., x1 l имеет любые знаки, а переменные x l +1,...,xn ³ 0.
Прямой задаче соответствует двойственная задача линейного программирования, в которой определяются двойственные переменные, удовлетворяющие соотношениям:
a11y1 +... + ak1yk + ak+1,1yk+1 +... + am1xym = c1
.....................................
a1 l y1 +... + ak l yk + ak+1, l yk+1 +... + am l ym = c l
|
.....................................
a1ny1 +... + aknyk + ak+1,nyk+1 +... + amnxym ³ cn,
обращающим в минимум линейную форму
L′ = b1y1 +... + bmym → min.
Здесь переменные y1,..., yk также могут иметь произвольные знаки, а yk+1,..., ym ³ 0. Заметим, что l равенствам (2.12) соответствуют свободные переменные x1,..., x l, а n – l неравенствам – неотрицательные переменные прямой задачи x l +1,..., xn. И наоборот, k равенствам прямой задачи (2.11) соответствуют свободные (неограниченные по знаку) переменные y1,..., yk, а n – k неравенствам – неотрицательные переменные yk+1,..., ym двойственной задачи.
|
|
Коэффициенты bj, стоящие в правой части ограничений прямой задачи, фигурируют как коэффициенты линейной формы в двойственной задаче, а коэффициенты линейной формы прямой задачи становятся коэффициентами правых частей ограничений двойственной задачи. Матрица АT коэффициентов левых частей ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей А коэффициентов левых частей прямой задачи. Запишем эти матрицы в виде
|
АT = ||ajI||.
Если нет специальных оговорок, далее используется матрица прямой задачи с m строками и n столбцами и i меняется от 1 до m, а j – от 1 до n. Поэтому переменные и коэффициенты имеют, соответственно, индексы xj, aij, yi, bi, cj. Соответственно число ограничений двойственной задачи равно числу неизвестных n прямой, а число неизвестных двойственной задачи равно числу ограничений m прямой задачи.
Кроме того, можно доказать так называемую теорему двойственности, которая утверждает, что
minL′ = maxL,
т.е. оптимальные значения функционалов для решений прямой и двойственной задач совпадают.
Все высказанные положения о взаимоотношении прямой и двойственной задач основаны на свойстве замкнутости пары прямой и двойственной задач, которое заключается в том, что задача, двойственная к двойственной, совпадает с основной, иногда они называются взаимно двойственными. По существу, мы специально так подобрали формализм прямой и двойственной задачи, чтобы удовлетворить сформулированному выше свойству замкнутости. Если попробовать изменить, к примеру, что-нибудь в формулировке двойственной задачи (минимум заменить на максимум или число свободных переменных изменить с k на k + 1), то это приведет к тому, что задача, двойственная к двойственной, не совпадет с прямой. На определенном уровне строгости, принятом в методе конструирования, никаких других доказательств не требуется. Свойство замкнутости (двойственности) широко используется и по существу является укрупненным свойством, с помощью которого можно экономным способом доказывать различные положения и получать методы оптимизации.
|
|