Формулы подобия

Группа преобразований подобия.

Определение 1: преобразованием подобия или просто подобием плоскости называется ее преобразование, при котором все расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число. Это число К называется коэффициентом подобия.

Замечание 1: если f – подобие плоскости, то по определению имеем:

.

Примеры:

1) Движение является подобием с коэффициентом К=1;

2) Гомотетией с центром С и коэффициентом Л называется преобразование плоскости, которое произвольную точку М плоскости отображает на такую точку М^/, что:

.

Обозначение:.

3) Пусть М₁ и М₂ – произвольные точки плоскости, а и - их образы при гомотетии. Тогда, и. Таким образом, гомотетия добием с коэффициентом.

L

С

L/

N

M

N/

M/

K 0

Теорема 1: множество подобий плоскости является группой относительно композиции. (Доказательство аналогично теореме движения).

Определение 2: фигура F называется подобной фигуре F^/, если существует подобие плоскости, отображающее фигуру F на фигуру F^/.

Обозначение: F F^/.

Теорема 2: подобие фигур является отношением эквивалентности. (Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для отношения равенства фигур).

Определение 3: подобие, не меняющее ориентацию плоскости, называется подобием 1-го рода. Подобие, изменяющее ориентацию плоскости на противоположную, называется подобием 2-го рода.

Замечание 2: подобия 1-го рода образуют группу; подобия 2-го рода группу не образуют.

Таким образом, имеет место следующая классификация:

Группа всех подобий

Группа всех движений

Группа подобий 1-го рода

Группа движений 1-го рода

Группа гомотетий с общим центром

Группа параллельных переносов

Группа поворотов с общим центром

Замечание 3: Из курса геометрии средней школы известно, что преобразование подобия обладает свойствами:

1) Сохраняют отношение «лежать между» для точек;

2) Отображают отрезок на отрезок, луч – на луч, прямую – на прямую, угол – на угол, многоугольник – на многоугольник;

3) Сохраняют величины (меры) углов;

4) Сохраняют отношение, в котором точка делит отрезок (в частности, середину отрезка отображают на середину образа этого отрезка).

5) Можно доказать, что гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Пусть имеется некоторая гомотетия плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат, обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (х^/;у^/) – координаты ее образа М^/ при гомотетии в этой же системе координат:

.

Найдем аналитическое выражение гомотетии коэффициенты К задается формулами:

… (1)

Доказательство.

Пусть М, тогда по определению гомотетии имеем:

.

, тогда получаем:

⇒ ⇒ (1)

Теорема доказана.

Следствие: гомотетия с центром в начале координат с коэффициентом К задается формулами:

(2)

Теорема 2: пусть f – подобие с коэффициентом К, а h – гомотетия с тем же коэффициентом К и центром в произвольной точке М₀. Тогда существует одно и только одно движение такое, что:

(3)

Доказательство.

1) Существование движения.

Рассмотрим преобразование плоскости

(4)

Оно является преобразование подобия с коэффициентом, то есть движением из равенства (4) имеем:

.

Таким образом, существует движение, удовлетворяющее условию (3).

2) Единственность движения.

Пусть теперь –произвольное движение плоскости, такое, что. Учитывая равенство (4), приходим к выводу, что =.

Теорема доказана.

Теорема 3: в прямоугольной декартовой системе координат подобие с коэффициентом К задается формулами:

(5)

где в случае подобия 1-го рода,

в случае подобия 2-го рода.

Доказательство.

Пусть f – подобие с коэффициентом К. тогда по теореме 2 имеем:, где h – гомотетия с центром в начале координат О (0;0) и коэффициентом К, а - некоторое движение.

M(х;у)

h - гомотетия

- движение

- гомотетия

M/(x /;у /)

M//(х//;у//)

Запишем в системе координат формулы преобразований h и:

,

Тогда получаем формулы композиции

или, обозначив координаты точки М(х;y), а ее образа при композиции - подобие с коэффициентом К – через х^/ и у^/, приходим к формулам (5). Теорема доказана.

Теорема 4: любое преобразование подобия, отличная от движения, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Следствие: любое преобразование подобия, имеющее более одной неподвижной точки или не имеющее ни одной неподвижной точки, является движением.

Замечания:

1) Используя теорему 4 и следствие из нее, можно провести классификацию преобразований подобии в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых. При этом прямая называется инвариантной при преобразовании плоскости f, если ее образ при f совпадает с ней;

2) Имеет место обратная теореме 3.

Теорема 5: любое преобразование, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (5), является преобразованием подобия.