Формулы движений.
Пусть имеется некоторые движение f плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (x /;у/) – координаты ее образа М/ при движении f в этой же системе координат:
f.
Найдем аналитическое выражение движения f в системе координат, то есть формулы, связывающие координаты точки и ее образа при движении.
Теорема 1: движение 1-го рода задается формулами:
(1)
А движение 2-го рода задается формулами:
(2)
Доказательство.
1)
Пусть
f – движение 1-го рода, причем согласно замечанию 2 (пункт 4) из §26 при движении прямоугольная декартова система координат отображается на прямоугольную декартову систему координат.
По определению движения имеем: ОМ=О/М/ - диагонали прямоугольников с вершинами М и М/ и сторонами на соответствующих … координат равны. Тогда равны и сами эти прямоугольники. Поэтому точка М/ имеет в системе координат те же самые координаты х, у, что и точка М в системе координат.
Применим к точке М/ теорему 2 из §11, учитывая, что движение первого рода типа системы координат:
> (3)
Где () – «новые» ординаты точки М/ в «старой» системе координат, но теперь они равны и соответственно. В правой части равенств (3) стоят координаты точки М/ в «новой» системе координат, но теперь они равны х и у соответственно.
Заменим координаты х, у, координатами,, и таким образом получим формулы (1).
2) Если f – движение 2-го рода, то формулы (2)доказываются аналогично, если учесть, что движение 2-го рода изменяет ориентацию плоскости и тип системы координат на противоположные.
Замечания:
1) В формулах (1) и (2) - () – координаты точки О/ - образа «старого» начала координат О – в «старой» системе координат:.
;
2) Формулы (1) и (2) можно объединить следующим образом:
где ε= 1. (1)
3) Имеет место теорема, обратная доказанной.
Теорема 2: всякое преобразование плоскости, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (1), является движением 1-го рода, а формулами (2) – движением 2-го рода;
4) Формулы движений имеют внешнее сходство с формулами перехода от одной системы координат к другой (см. §11). Однако, формулы движений связывают координаты двух точек – М и ее образа М/ - в одной и той же системе координат, а формулы перехода связывают одной и той же точки в разных системах координат – «старой» и «новой».
Частные случаи движений:
I. Движения 1-го рода:
1)
2)
вокруг начала координат на угол.
3)
симметрии с центром О (0;0).
II. Движения 2-го рода:
1)
с осью О х.
2)
с осью О у.
Пусть - множество всех движений плоскости, переводящих фигуру F в себя. Очевидно, если движения f и g принадлежат множеству, то их композиция и движениеg ° f и движение f -1: также принадлежат множеству: g ° f и f -1. Следовательно, множество есть группа, которая является подгруппой группы D всех движений плоскости.
Определение 1: Если группа содержит элементы, отличные от тождественного преобразования е плоскости, то она называется группой симметрий фигуры F, а ее элементы – симметриями фигуры F. Если состоит из одного тождественного преобразования е, то говорят, что фигура F не имеет симметрий.
Примеры:
1)
Группа симметрий правильного ∆АВС с центром О состоит из шести элементов (преобразований): трех поворотов е=,, и трех осевых симметрий: =
2)
Группа симметрий равнобедренного треугольника ∆АВС состоит из двух элементов (преобразований): =, тождественного преобразования е и осевой симметрии. p⊥AB, AD=DB.
3) Группа симметрий разностороннего треугольника ∆АВС состоит из одного элемента – тождественного преобразования е. =, поэтому произвольный треугольник не имеет симметрий.
4)
Группа симметрий окружности с центром О радиуса
r состоит из бесконечного числа элементов. Любое вращение с центром О и любое отражение от прямой, проходящей через точку О является симметрией окружности.
Определение 2: прямая d называется осью симметрии фигуры F, если f, где f – отражение от прямой d. Точка М0 называется центром симметрии фигуры F, если отражение от точки М0 принадлежит группе.
(здесь отражение от прямой – осевая симметрия относительно этой прямой; отражение от точки – центральная симметрия относительно этой точки).
Примеры:
5)
Параллелограмм, отличный от прямоугольника или ромба, имеет один центр симметрии – центр параллелограмма – м не имеет осей симметрии;
6) Прямоугольник или ромб, отличные от квадрата, имеют один центр симметрии и две оси симметрии d1 и d2 – прямые, на которых лежат диагонали ромба или серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника;
7) Квадрат имеет один центр симметрии и четыре оси симметрии – прямые d1, d2, АВ, ВD.
8)
Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров и осей симметрии. Пусть F – точка между параллельными прямыми d
1 и d
2, а d
0 – прямая, параллельная d
1 и d
2 и отстоящая от них на равном расстоянии.
Тогда любая точка М0 прямой d0 является центром симметрии фигуры F, а любая прямая l⊥d0, является осью симметрии этой фигуры.
2014-02-24
1357
