2014-02-24
1226
Определение 1: движением или перемещением плоскости называется ее преобразование, сохраняющие расстояние между точками.
Замечание 1: если f – движение плоскости, то по определению:
(М M/⋏N N/)⇒(MN=M/N/).
Пример 1: тождественное преобразование, поворот, параллельный перенос, осевая и центральная симметрии есть движения.
Теорема 1: множество всех движений плоскости является группой.
Доказательство.
1)
| М |
| f1 |
| М/ |
| N/ |
| f2 |
| М// |
| N// |
| f=f2 ° f1 |
| N |
(MN=M/N/⋏M/N/=M//N//) ⇒ (MN= M//N//).
2) Пусть f – любое движение плоскости. Оно сохраняет расстояние между точками, то тогда расстояние не будет изменятся и при обратном преобразовании f-1. Следовательно, преобразование f-1 есть движение.
| N |
| M |
| N/ |
| M/ |
| f |
| f-1 |
(MN=M/N/)⇒ (M/N/=MN).
Согласно определению 2 из §25 множество движений плоскости является группой.
|
|
|
Определение 2: фигуры F называется равной фигуре F/, если существует движение f, отображающее F на F/: F/= f (F).
Обозначения: F=F/.
Теорема 2: равенство фигур является отношением эквивалентности, то есть обладает свойствами рефликсивности, симметричности и транзитивности.
Доказательство.
1) При тождественности преобразования ε любая точка фигуры F отображается на себя:
F F.
Так как тождественное преобразование является движением, то любая фигура F равна самой себе:
F=F – рефлексивность.
2) Пусть F=F/. Это значит, что существует движение f, отображающее F на F/:
F F/.
Но так как f – движение, то существует ему обратное движение f-1, отображающие F/ на F:
F/ F
Согласно определению 2 имеем F=F/. Таким образом:
(F=F/)⇒(F/=F) – симметричность.
3) Пусть F=F/ и F/=F//. Это значит, что существует такие движения f1 и f2, что:
F F/ и F/ F//.
Но композиция f = f2 ° f1 отображают F на F///
Так как по теореме 1 f = f2 ° f1 – движение, то по определению 2 имеем: F=F//.
Таким образом:
(F=F/⋏F/=F//)⇒(F=F//) – транзитивность.
Замечание 2: из курса геометрии средней школы известно, что движения обладают следующими свойствами:
1) Сохраняют отношение «лежать между» для точек;
2) Отображают отрезок на отрезок, луч – на луч, прямую – на прямую, угол – на угол, многоугольник – на многоугольник;
3) Сохраняется величина (меры) углов;
4) Отображают прямоугольную декартову систему координат на прямоугольную декартову систему координат.
Определение 3: движение 1-го рода называется движение, сохраняющее ориентацию плоскости, то есть отображающее правую систему координат на правую, левую – на левую. Если движение изменяет ориентацию плоскости, то есть изменяет тип системы координат, то оно называется движением 2-го рода.
|
|
|
| У |
| У/ |
| х |
| х/ |
| О |
| О/ |
ПРАВАЯ O/ x / y /= ()
ПРАВАЯ =.
| У |
| х |
| О |
| О/ |
| У/ |
| х/ |
| р |
| ПРАВАЯ |
| ЛЕВАЯ |
О/ х / у /= (О ху)
Замечание 3: Множество движений 1-го рода является группой, а движений 2-го рода – не является группой, так как композиция двух движений 2-го рода дважды меняет ориентацию плоскости на противоположную и вследствие этого является движением 1-го рода по определению (см. определение 3).
Определение 4: скользящей симметрией называется преобразование плоскости, является композицией осевой симметрии и параллельного переноса в направлении оси симметрии.
| M// |
Где p, так как
М//=(°)(М)=(°)(М).
Замечание 4: скользящая симметрия является движением 2-го рода, так как изменяет на противоположную ориентацию плоскости.
Имеет место основная теорема о структуре группы движений плоскости.
Теорема 3 (Мишеля Шаля (1798-1880) – французский геометр, создал новое направление в математике – вычислительную геометрию): всякое движение плоскости является одним из следующих преобразований:
1) Поворот (включая центральную симметрию и тождественное преобразование);
2) Параллельный перенос;
3) Осевая симметрия;
4) Композиция поворота и параллельного переноса;
5) Скользящая симметрия.
Следствие: всякое движение плоскости является композицией следующих движений:
1) Поворот;
2) Параллельный перенос;
3) Осевая симметрия.
Классификация движений плоскости:
| Все движения плоскости |
| Движения 1-го рода |
| Движения 2-го рода |
| Движения 1-го рода |
| Параллельные переносы |
| Осевые симметрии |
| Скользящие симметрии |
